95 Prove que se
então
.(Solução)
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para provar que
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Sabemos que
divide , ou seja, existe um inteiro tal que . - O objetivo é mostrar que o número
é múltiplo de .
Passo 2
Vamos recordar um conceito básico e muito útil: congruência modular. Dizemos que
é congruente a
módulo
e escrevemos
quando
divide a diferença
. Isso significa que
é múltiplo de
. Algumas propriedades importantes (que vamos usar) são: se
então
Também, se
então, para qualquer inteiro
,
Isso nos permite trabalhar com potências reduzindo expoentes usando congruências.
Passo 3
Calculemos as primeiras potências de
módulo
para ver um padrão:
porque
é múltiplo de
. Portanto encontramos que
Passo 4
Agora usemos a propriedade de potência de congruências: se
, então para qualquer inteiro
vale
Como
e
, obtemos
Em palavras: sempre que o expoente for múltiplo de
, a potência de
será congruente a
módulo
.
Passo 5
Como no enunciado temos
, existe um inteiro
tal que
. Substituindo na congruência do passo anterior, obtemos
Isso significa que
é divisível por
; em termos de divisibilidade:
Passo 6
Comentário pedagógico rápido para fixar: o que usamos aqui é que a sequência
é cíclica com período
porque
. Assim qualquer expoente múltiplo de
faz a potência cair exatamente em
módulo
. Um exemplo paralelo: para
temos também
(por Euler/Fermat), mas o menor expoente positivo que dá
aqui é
, e esse menor expoente é que garante a propriedade para múltiplos de
.
Passo 7
Recapitulando de forma direta: calculamos
; escrevemos
e então
. Assim
é múltiplo de
, que era o que precisávamos provar.
Resposta
Se
então
.