95 Prove que se 3 \mid n então 7 \mid\left(2^{n}-1\right).(Solução)

Passo 1

O enunciado dá a informação 3 \mid n e pede para provar que 7 \mid\left(2^{n}-1\right).
Informações relevantes que temos:
  • Sabemos que 3 divide n, ou seja, existe um inteiro t tal que n=3t.
  • O objetivo é mostrar que o número 2^{n}-1 é múltiplo de 7.

Passo 2

Vamos recordar um conceito básico e muito útil: congruência modular. Dizemos que a é congruente a b módulo m e escrevemos
a\equiv b\pmod{m}
quando m divide a diferença a-b. Isso significa que a-b é múltiplo de m. Algumas propriedades importantes (que vamos usar) são: se
a\equiv b\pmod{m}\quad\text{e}\quad c\equiv d\pmod{m},
então
a+c\equiv b+d\pmod{m}\quad\text{e}\quad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod{m}.
Também, se a\equiv b\pmod{m} então, para qualquer inteiro k,
a^{k}\equiv b^{k}\pmod{m}.
Isso nos permite trabalhar com potências reduzindo expoentes usando congruências.

Passo 3

Calculemos as primeiras potências de 2 módulo 7 para ver um padrão:
2^{1}=2\equiv 2\pmod{7},
2^{2}=4\equiv 4\pmod{7},
2^{3}=8\equiv 1\pmod{7},
porque 8-1=7 é múltiplo de 7. Portanto encontramos que
2^{3}\equiv 1\pmod{7}.

Passo 4

Agora usemos a propriedade de potência de congruências: se 2^{3}\equiv 1\pmod{7}, então para qualquer inteiro t vale
(2^{3})^{t}\equiv 1^{t}\pmod{7}.
Como (2^{3})^{t}=2^{3t} e 1^{t}=1, obtemos
2^{3t}\equiv 1\pmod{7}.
Em palavras: sempre que o expoente for múltiplo de 3, a potência de 2 será congruente a 1 módulo 7.

Passo 5

Como no enunciado temos 3\mid n, existe um inteiro t tal que n=3t. Substituindo na congruência do passo anterior, obtemos
2^{n}=2^{3t}\equiv 1\pmod{7}.
Isso significa que 2^{n}-1 é divisível por 7; em termos de divisibilidade:
7\mid\left(2^{n}-1\right).

Passo 6

Comentário pedagógico rápido para fixar: o que usamos aqui é que a sequência 2^{k}\pmod{7} é cíclica com período 3 porque 2^{3}\equiv 1\pmod{7}. Assim qualquer expoente múltiplo de 3 faz a potência cair exatamente em 1 módulo 7. Um exemplo paralelo: para m=7 temos também 2^{6}\equiv 1\pmod{7} (por Euler/Fermat), mas o menor expoente positivo que dá 1 aqui é 3, e esse menor expoente é que garante a propriedade para múltiplos de 3.

Passo 7

Recapitulando de forma direta: calculamos 2^{3}\equiv 1\pmod{7}; escrevemos n=3t e então 2^{n}=2^{3t}=(2^{3})^{t}\equiv 1^{t}\equiv 1\pmod{7}. Assim 2^{n}-1 é múltiplo de 7, que era o que precisávamos provar.

Resposta

Se 3\mid n então 7\mid\left(2^{n}-1\right).

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