96 A relação a|b em \mathbb{Z} é uma relação de equivalência? Justifique sua resposta.(Solução)

Passo 1

O enunciado pergunta se a relação “ a\mid b” em \mathbb{Z} é uma relação de equivalência e pede justificativa.
Informações dadas: a relação está definida em \mathbb{Z} e, por definição, diz-se que “ a\mid b” (lê‑se “a divide b”) se existe k\in\mathbb{Z} tal que b = a k.
A pergunta é única: responder se essa relação é, ou não, uma relação de equivalência, justificando.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser uma relação de equivalência. Por definição, uma relação R em um conjunto é relação de equivalência se, para todos os elementos do conjunto, valem simultaneamente três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. Vou explicar cada uma delas de forma bem direta:
  • Reflexiva: para todo x no conjunto vale xRx. Ou seja, cada elemento está relacionado consigo mesmo.
  • Simétrica: para todos x,y, se xRy então yRx. Ou seja, a relação é “de mão dupla”.
  • Transitiva: para todos x,y,z, se xRy e yRz então xRz. Ou seja, a relação compõe‑se ao caminhar por três elementos.

Passo 3

Verificação da reflexividade para a relação a\mid b.
Queremos ver se, para todo a\in\mathbb{Z}, vale a\mid a. Pela definição de divisibilidade, a\mid a se existe k\in\mathbb{Z} com a = a k. Tomamos k=1. Então a = a\cdot 1, portanto existe tal k e a\mid a é verdadeiro para todo a\in\mathbb{Z}.
Observação sobre a=0: para a=0 temos 0 = 0\cdot k para qualquer k, então em particular existe k que satisfaz a igualdade; logo 0\mid 0 também é verdade. Conclusão: a relação é reflexiva.

Passo 4

Verificação da simetria para a relação a\mid b.
Simetria exigiria que sempre que a\mid b então b\mid a. Vamos buscar um contraexemplo simples para ver se isso falha. Considere a=2 e b=4. Temos:
  • 2\mid 4 porque 4 = 2\cdot 2 (aqui usei k=2).
  • Para que 4\mid 2 valesse, teria que existir k\in\mathbb{Z} tal que 2 = 4k. Isso exigiria k = \tfrac{1}{2}, que não é inteiro. Logo 4\nmid 2.
    Logo existe um caso em que a\mid b é verdadeiro mas b\mid a é falso; portanto a relação não é simétrica. Como a simetria falha, a relação não pode ser uma relação de equivalência.

Passo 5

Verificação da transitividade (apenas para completar o entendimento).
Suponha a\mid b e b\mid c. Então existem m,n\in\mathbb{Z} tais que b = a m e c = b n. Substituindo a expressão de b em c obtemos c = (a m) n = a (m n). Como o produto m n é um inteiro, existe um inteiro p = m n tal que c = a p. Portanto a\mid c. Conclusão: a relação é transitiva.
Observação pedagógica: ter reflexividade e transitividade só não basta para ser equivalência; falta a simetria.

Passo 6

Conclusão final (síntese e contexto): a relação a\mid b em \mathbb{Z} é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica (como mostra o exemplo 2\mid4 e 4\nmid2). Portanto não é uma relação de equivalência.
Comentário extra útil para prova: se você quiser uma relação de equivalência ligada à divisibilidade, pode considerar a relação " a\mid b e b\mid a " — essa é de fato uma relação de equivalência; em \mathbb{Z} ela identifica a e b sempre que a = \pm b (diz‑se que são associados).

Resposta

Não. A relação a\mid b em \mathbb{Z} é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica (ex.: 2\mid4 e 4\nmid2), logo não é uma relação de equivalência.

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