96 A relação a|b em
é uma relação de equivalência? Justifique sua resposta.(Solução)
Passo 1
O enunciado pergunta se a relação “
” em
é uma relação de equivalência e pede justificativa.
Informações dadas: a relação está definida em e, por definição, diz-se que “
” (lê‑se “a divide b”) se existe
tal que
.
A pergunta é única: responder se essa relação é, ou não, uma relação de equivalência, justificando.
Informações dadas: a relação está definida em
A pergunta é única: responder se essa relação é, ou não, uma relação de equivalência, justificando.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser uma relação de equivalência. Por definição, uma relação
em um conjunto é relação de equivalência se, para todos os elementos do conjunto, valem simultaneamente três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. Vou explicar cada uma delas de forma bem direta:
- Reflexiva: para todo
no conjunto vale . Ou seja, cada elemento está relacionado consigo mesmo. - Simétrica: para todos
, se então . Ou seja, a relação é “de mão dupla”. - Transitiva: para todos
, se e então . Ou seja, a relação compõe‑se ao caminhar por três elementos.
Passo 3
Verificação da reflexividade para a relação
.
Queremos ver se, para todo , vale
. Pela definição de divisibilidade,
se existe
com
. Tomamos
. Então
, portanto existe tal
e
é verdadeiro para todo
.
Observação sobre : para
temos
para qualquer
, então em particular existe
que satisfaz a igualdade; logo
também é verdade. Conclusão: a relação é reflexiva.
Queremos ver se, para todo
Observação sobre
Passo 4
Verificação da simetria para a relação
.
Simetria exigiria que sempre que então
. Vamos buscar um contraexemplo simples para ver se isso falha. Considere
e
. Temos:
Simetria exigiria que sempre que
-
porque (aqui usei ). - Para que
valesse, teria que existir tal que . Isso exigiria , que não é inteiro. Logo .
Logo existe um caso em queé verdadeiro mas é falso; portanto a relação não é simétrica. Como a simetria falha, a relação não pode ser uma relação de equivalência.
Passo 5
Verificação da transitividade (apenas para completar o entendimento).
Suponha e
. Então existem
tais que
e
. Substituindo a expressão de
em
obtemos
. Como o produto
é um inteiro, existe um inteiro
tal que
. Portanto
. Conclusão: a relação é transitiva.
Observação pedagógica: ter reflexividade e transitividade só não basta para ser equivalência; falta a simetria.
Suponha
Observação pedagógica: ter reflexividade e transitividade só não basta para ser equivalência; falta a simetria.
Passo 6
Conclusão final (síntese e contexto): a relação
em
é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica (como mostra o exemplo
e
). Portanto não é uma relação de equivalência.
Comentário extra útil para prova: se você quiser uma relação de equivalência ligada à divisibilidade, pode considerar a relação " e
" — essa é de fato uma relação de equivalência; em
ela identifica
e
sempre que
(diz‑se que são associados).
Comentário extra útil para prova: se você quiser uma relação de equivalência ligada à divisibilidade, pode considerar a relação "
Resposta
Não. A relação
em
é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica (ex.:
e
), logo não é uma relação de equivalência.