Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para \mathrm{h}=0,1.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. na malha [ 0,1 ]

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por \displaystyle\frac{dy}{dx}=-x y com condição inicial y(0)=1 na malha [0,1] usando passo \displaystyle h=0,1.\n
  • Dados importantes: \displaystyle f(x,y)=-x y, condição inicial \displaystyle y(0)=1, intervalo [0,1], passo \displaystyle h=0,1.\n
  • A malha tem pontos \displaystyle x_n = n h para n=0,1,\dots,10 (porque \displaystyle 1/h = 10).\n

Passo 2

Escolha do método e fórmula geral (explicadinha)\n
  • Vou usar o método de Euler explícito (o mais básico). Escolhi esse porque o enunciado não obrigou outro método e Euler é o procedimento elementar que costuma cair em prova; além disso é fácil de aplicar à mão.\n
  • O método de Euler explícito gera aproximações \displaystyle y_n para a solução em \displaystyle x_n pela fórmula\n y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
Aqui: \displaystyle x_n é o ponto atual da malha, \displaystyle y_n é a aproximação em \displaystyle x_n, \displaystyle h é o passo e \displaystyle f(x,y) é o lado direito da ODE. A ideia é usar a derivada conhecida em \displaystyle (x_n,y_n) para dar um passo à frente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso f(x,y)=-x y (simplificação muito útil)\n
  • Substituindo \displaystyle f(x_n,y_n)=-x_n y_n na fórmula de Euler temos\n y_{n+1} = y_n + h(-x_n y_n) = y_n\bigl(1 - h x_n\bigr).
  • Ou seja, cada passo é simplesmente multiplicar \displaystyle y_n por um fator \displaystyle 1-h x_n. Isso facilita muito os cálculos à mão.

Passo 4

Definir explicitamente os pontos da malha\n
  • Com \displaystyle h=0,1 temos\n x_n = n\cdot h = n\cdot 0,1,\qquad n=0,1,\dots,10.
  • Lista dos pontos: \displaystyle x_0=0, \displaystyle x_1=0,1, \displaystyle x_2=0,2, \displaystyle x_3=0,3, \displaystyle x_4=0,4, \displaystyle x_5=0,5, \displaystyle x_6=0,6, \displaystyle x_7=0,7, \displaystyle x_8=0,8, \displaystyle x_9=0,9, \displaystyle x_{10}=1,0.\n

Passo 5

Cálculo passo a passo das primeiras atualizações (n=0…4)\n
  • Inicial: \displaystyle y_0 = 1 (dado).\n
  • Para n=0: \displaystyle x_0=0, fator \displaystyle 1-hx_0 = 1-0,1\cdot 0 = 1. Então\n y_1 = y_0(1-0,1\cdot 0)=1\cdot 1 = 1.
  • Para n=1: \displaystyle x_1=0,1, fator \displaystyle 1-0,1\cdot 0,1 = 1-0,01 = 0,99. Então\n y_2 = y_1\cdot 0,99 = 1\cdot 0,99 = 0,99.
  • Para n=2: \displaystyle x_2=0,2, fator \displaystyle 1-0,1\cdot 0,2 = 0,98. Então\n y_3 = y_2\cdot 0,98 = 0,99\cdot 0,98 = 0,9702.
  • Para n=3: \displaystyle x_3=0,3, fator 0,97. Então\n y_4 = y_3\cdot 0,97 = 0,9702\cdot 0,97 = 0,941094.
  • Para n=4: \displaystyle x_4=0,4, fator 0,96. Então\n y_5 = y_4\cdot 0,96 = 0,941094\cdot 0,96 = 0,90345024.

Passo 6

Continuando os passos (n=5…7)\n
  • Para n=5: \displaystyle x_5=0,5, fator 0,95. Então\n y_6 = y_5\cdot 0,95 = 0,90345024\cdot 0,95 = 0,858277728.
  • Para n=6: \displaystyle x_6=0,6, fator 0,94. Então\n y_7 = y_6\cdot 0,94 = 0,858277728\cdot 0,94 = 0,80678006432.
  • Para n=7: \displaystyle x_7=0,7, fator 0,93. Então\n y_8 = y_7\cdot 0,93 = 0,80678006432\cdot 0,93 = 0,7503054598176.

Passo 7

Últimos passos até x=1,0 (n=8…9) e valor em x=1,0\n
  • Para n=8: \displaystyle x_8=0,8, fator 0,92. Então\n y_9 = y_8\cdot 0,92 = 0,7503054598176\cdot 0,92 = 0,690281023032192.
  • Para n=9: \displaystyle x_9=0,9, fator 0,91. Então\n y_{10} = y_9\cdot 0,91 = 0,690281023032192\cdot 0,91 = 0,62815573095929472.
  • Assim, a aproximação em x=1,0 (último ponto da malha) pelo método de Euler explícito com h=0,1 é \displaystyle y_{10}\approx 0,62815573095929472.

Passo 8

Comparação rápida com a solução exata (para entender o erro)\n
  • A EDO é separável/linear e sua solução exata é\n y(x)=\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{2}\bigr).
  • Em x=1,0 isso dá y(1,0)=\exp(-1/2)\approx 0,6065306597126334. Comparando com a aproximação de Euler temos erro absoluto\n |y_{10}-y(1)| \approx 0,62815573095929472 - 0,6065306597126334 \approx 0,02162507124666132.
  • Observação didática: Euler explícito é simples, mas tem erro relativamente grande; métodos como Heun (Euler melhorado) ou Runge–Kutta de ordem 4 geralmente reduzem bastante esse erro se você precisar de mais precisão numa prova.

Passo 9

Dica final e incentivo\n
  • Na prova: identifique se dá para simplificar f(x,y) (como aqui) — isso economiza muito cálculo. Se pedirem só com Euler, use o fator 1-hx_n como fizemos. Se der tempo, compare com a solução exata (se for simples) para estimar erro.\n
  • Você está indo bem — passo a passo assim resolve muitos PVIs mesmo no desespero. Força aí!

Resposta

\,x=0,0:\\ y=1\n
\,x=0,1:\\ y=1\n
\,x=0,2:\\ y=0,99\n
\,x=0,3:\\ y=0,9702\n
\,x=0,4:\\ y=0,941094\n
\,x=0,5:\\ y=0,90345024\n
\,x=0,6:\\ y=0,858277728\n
\,x=0,7:\\ y=0,80678006432\n
\,x=0,8:\\ y=0,7503054598176\n
\,x=0,9:\\ y=0,690281023032192\n
\,x=1,0:\\ y=0,62815573095929472

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