Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para
.
na malha [ 0,1 ]
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos\n
- Pede: aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
com condição inicial na malha usando passo .\n - Dados importantes:
, condição inicial , intervalo , passo .\n - A malha tem pontos
para (porque ).\n
Passo 2
Escolha do método e fórmula geral (explicadinha)\n
- Vou usar o método de Euler explícito (o mais básico). Escolhi esse porque o enunciado não obrigou outro método e Euler é o procedimento elementar que costuma cair em prova; além disso é fácil de aplicar à mão.\n
- O método de Euler explícito gera aproximações
para a solução em pela fórmula\n
Aqui:
é o ponto atual da malha,
é a aproximação em
,
é o passo e
é o lado direito da ODE. A ideia é usar a derivada conhecida em
para dar um passo à frente.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso
(simplificação muito útil)\n
- Substituindo
na fórmula de Euler temos\n - Ou seja, cada passo é simplesmente multiplicar
por um fator . Isso facilita muito os cálculos à mão.
Passo 4
Definir explicitamente os pontos da malha\n
- Com
temos\n - Lista dos pontos:
, , , , , , , , , , .\n
Passo 5
Cálculo passo a passo das primeiras atualizações (n=0…4)\n
- Inicial:
(dado).\n - Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n
Passo 6
Continuando os passos (n=5…7)\n
- Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n
Passo 7
Últimos passos até
(n=8…9) e valor em
\n
- Para
: , fator . Então\n - Para
: , fator . Então\n - Assim, a aproximação em
(último ponto da malha) pelo método de Euler explícito com é
Passo 8
Comparação rápida com a solução exata (para entender o erro)\n
- A EDO é separável/linear e sua solução exata é\n
- Em
isso dá . Comparando com a aproximação de Euler temos erro absoluto\n - Observação didática: Euler explícito é simples, mas tem erro relativamente grande; métodos como Heun (Euler melhorado) ou Runge–Kutta de ordem 4 geralmente reduzem bastante esse erro se você precisar de mais precisão numa prova.
Passo 9
Dica final e incentivo\n
- Na prova: identifique se dá para simplificar
(como aqui) — isso economiza muito cálculo. Se pedirem só com Euler, use o fator como fizemos. Se der tempo, compare com a solução exata (se for simples) para estimar erro.\n - Você está indo bem — passo a passo assim resolve muitos PVIs mesmo no desespero. Força aí!