Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para \mathrm{h}=0,1.
\begin{array}{ll}u^{\prime}(t)=-0,5 u(t)+2+t & \u(0)=8 & \text { na malha }[0,1]\end{array}

Passo 1

O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial
\begin{array}{l} u'(t)=-0,5\,u(t)+2+t,\\[4pt] u(0)=8, \end{array}
na malha [0,1] com passo \;h=0,1.\n
Informações dadas e o que precisamos obter:\n
  • A função que aparece na EDO é f(t,u)=-0,5\,u+2+t.\n
  • Condição inicial: u(0)=8.\n
  • Intervalo: [0,1] e passo \;h=0,1, portanto os nós são t_n=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1{,}0 (ou seja n=0,1,\dots,10).\n
  • Precisamos calcular aproximações u_n\approx u(t_n) para n=0,1,\dots,10.\n]

Passo 2

Escolha do método e explicação didática (por que usar este método).\n
Vou usar o método de Euler explícito (o mais básico). Justificativa: o enunciado não exige método específico e, em um curso inicial de métodos numéricos para EDO, o método de Euler é o primeiro e mais direto a aplicar — é rápido de calcular à mão e suficiente para entendermos o procedimento. Além disso, o enunciado pede aproximações simples na malha, o que combina com Euler.\n
Breve aula sobre o método de Euler (passo a passo e ideia):\n
  • Partimos da EDO u'(t)=f(t,u(t)).\n
  • A ideia é aproximar a derivada por diferença forward: u'(t_n)\approx\dfrac{u_{n+1}-u_n}{h}.\n
  • Substituindo, obtemos a fórmula do método de Euler explícito:
u_{n+1}=u_n+h\,f(t_n,u_n).
Aqui u_n é a aproximação de u(t_n), h é o passo e f é a função do lado direito da EDO.\n
Observações úteis para a prova: o método de Euler tem ordem de convergência 1 (erro global proporcional a h), então reduzir h melhora a aproximação linearmente. Também memorize a fórmula e pratique substituir f(t_n,u_n) explicitamente no caso concreto.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso problema: f(t,u)=-0,5\,u+2+t e h=0,1.\n
Usando u_{n+1}=u_n+h\,f(t_n,u_n) temos
u_{n+1}=u_n+0{,}1\bigl(-0{,}5\,u_n+2+t_n\bigr).
Agrupando termos com u_n:
u_{n+1}=u_n\bigl(1-0{,}1\cdot0{,}5\bigr)+0{,}1(2+t_n).
Como 1-0{,}1\cdot0{,}5=1-0{,}05=0{,}95 e 0{,}1\cdot2=0{,}2, obtemos a fórmula simplificada e prática:
\boxed{\,u_{n+1}=0{,}95\,u_n+0{,}2+0{,}1\,t_n\,}
com t_n=0{,}1\,n e u_0=8.\n
Essa fórmula é a que usaremos repetidamente. Note que em cada passo só precisamos multiplicar u_n por 0{,}95 e somar 0{,}2+0{,}1\,t_n.

Passo 4

Cálculo de u_1 (n = 0):\n
Usando t_0=0 e u_0=8:
u_1=0{,}95\cdot 8 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0.
Fazendo as contas:
0{,}95\cdot 8=7{,}6,\quad 0{,}2+0=0{,}2,
logo
u_1=7{,}6+0{,}2=7{,}8.

Passo 5

Cálculo de u_2 (n = 1):\n
Aqui t_1=0{,}1 e u_1=7{,}8:
u_2=0{,}95\cdot 7{,}8 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}1.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}8=7{,}41,\quad 0{,}1\cdot 0{,}1=0{,}01,\quad 0{,}2+0{,}01=0{,}21,
logo
u_2=7{,}41+0{,}21=7{,}62.

Passo 6

Cálculo de u_3 (n = 2):\n
t_2=0{,}2, u_2=7{,}62:
u_3=0{,}95\cdot 7{,}62 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}2.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}62=7{,}239,\quad 0{,}1\cdot 0{,}2=0{,}02,\quad 0{,}2+0{,}02=0{,}22,
logo
u_3=7{,}239+0{,}22=7{,}459.

Passo 7

Cálculo de u_4 (n = 3):\n
t_3=0{,}3, u_3=7{,}459:
u_4=0{,}95\cdot 7{,}459 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}3.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}459=7{,}08605,\quad 0{,}1\cdot 0{,}3=0{,}03,\quad 0{,}2+0{,}03=0{,}23,
logo
u_4=7{,}08605+0{,}23=7{,}31605.

Passo 8

Cálculo de u_5 (n = 4):\n
t_4=0{,}4, u_4=7{,}31605:
u_5=0{,}95\cdot 7{,}31605 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}4.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}31605=6{,}9502475,\quad 0{,}1\cdot 0{,}4=0{,}04,\quad 0{,}2+0{,}04=0{,}24,
logo
u_5=6{,}9502475+0{,}24=7{,}1902475.

Passo 9

Cálculo de u_6 (n = 5):\n
t_5=0{,}5, u_5=7{,}1902475:
u_6=0{,}95\cdot 7{,}1902475 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}5.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}1902475=6{,}830735125,\quad 0{,}1\cdot 0{,}5=0{,}05,\quad 0{,}2+0{,}05=0{,}25,
logo
u_6=6{,}830735125+0{,}25=7{,}080735125.

Passo 10

Cálculo de u_7 (n = 6):\n
t_6=0{,}6, u_6=7{,}080735125:
u_7=0{,}95\cdot 7{,}080735125 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}6.
Calculando:
0{,}95\cdot 7{,}080735125=6{,}72669836875,\quad 0{,}1\cdot 0{,}6=0{,}06,\quad 0{,}2+0{,}06=0{,}26,
logo
u_7=6{,}72669836875+0{,}26=6{,}98669836875.

Passo 11

Cálculo de u_8 (n = 7):\n
t_7=0{,}7, u_7=6{,}98669836875:
u_8=0{,}95\cdot 6{,}98669836875 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}7.
Calculando:
0{,}95\cdot 6{,}98669836875=6{,}6373634503125,\quad 0{,}1\cdot 0{,}7=0{,}07,\quad 0{,}2+0{,}07=0{,}27,
logo
u_8=6{,}6373634503125+0{,}27=6{,}9073634503125.

Passo 12

Cálculo de u_9 (n = 8):\n
t_8=0{,}8, u_8=6{,}9073634503125:
u_9=0{,}95\cdot 6{,}9073634503125 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8.
Calculando:
0{,}95\cdot 6{,}9073634503125=6{,}561995277796875,\quad 0{,}1\cdot 0{,}8=0{,}08,\quad 0{,}2+0{,}08=0{,}28,
logo
u_9=6{,}561995277796875+0{,}28=6{,}841995277796875.

Passo 13

Cálculo de u_{10} (n = 9, que fornece a aproximação em t_{10}=1{,}0):\n
t_9=0{,}9, u_9=6{,}841995277796875:
u_{10}=0{,}95\cdot 6{,}841995277796875 + 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}9.
Calculando:
0{,}95\cdot 6{,}841995277796875=6{,}49989551390603125,\quad 0{,}1\cdot 0{,}9=0{,}09,\quad 0{,}2+0{,}09=0{,}29,
logo
u_{10}=6{,}49989551390603125+0{,}29=6{,}78989551390603125.
Arredondando para 6 casas decimais quando conveniente, os valores ficam comíodos para leitura (mas mantive a maior parte dos intermediários com precisão suficiente).

Resposta

t=0{,}0:\;u\approx 8{,}000000\n
t=0{,}1:\;u\approx 7{,}800000\n
t=0{,}2:\;u\approx 7{,}620000\n
t=0{,}3:\;u\approx 7{,}459000\n
t=0{,}4:\;u\approx 7{,}316050\n
t=0{,}5:\;u\approx 7{,}190248\n
t=0{,}6:\;u\approx 7{,}080735\n
t=0{,}7:\;u\approx 6{,}986698\n
t=0{,}8:\;u\approx 6{,}907363\n
t=0{,}9:\;u\approx 6{,}841995\n
t=1{,}0:\;u\approx 6{,}789896

Exercícios relacionados