Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para
.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar a solução do problema de valor inicial
na malha
com passo
.\n
Informações dadas e o que precisamos obter:\n
Informações dadas e o que precisamos obter:\n
- A função que aparece na EDO é
.\n - Condição inicial:
.\n - Intervalo:
e passo , portanto os nós são (ou seja ).\n - Precisamos calcular aproximações
para .\n]
Passo 2
Escolha do método e explicação didática (por que usar este método).\n
Vou usar o método de Euler explícito (o mais básico). Justificativa: o enunciado não exige método específico e, em um curso inicial de métodos numéricos para EDO, o método de Euler é o primeiro e mais direto a aplicar — é rápido de calcular à mão e suficiente para entendermos o procedimento. Além disso, o enunciado pede aproximações simples na malha, o que combina com Euler.\n
Breve aula sobre o método de Euler (passo a passo e ideia):\n
Vou usar o método de Euler explícito (o mais básico). Justificativa: o enunciado não exige método específico e, em um curso inicial de métodos numéricos para EDO, o método de Euler é o primeiro e mais direto a aplicar — é rápido de calcular à mão e suficiente para entendermos o procedimento. Além disso, o enunciado pede aproximações simples na malha, o que combina com Euler.\n
Breve aula sobre o método de Euler (passo a passo e ideia):\n
- Partimos da EDO
.\n - A ideia é aproximar a derivada por diferença forward:
.\n - Substituindo, obtemos a fórmula do método de Euler explícito:
Aqui
é a aproximação de
,
é o passo e
é a função do lado direito da EDO.\n
Observações úteis para a prova: o método de Euler tem ordem de convergência (erro global proporcional a
), então reduzir
melhora a aproximação linearmente. Também memorize a fórmula e pratique substituir
explicitamente no caso concreto.
Observações úteis para a prova: o método de Euler tem ordem de convergência
Passo 3
Aplicando o método ao nosso problema:
e
.\n
Usando temos
Usando
Agrupando termos com
:
Como
e
, obtemos a fórmula simplificada e prática:
com
e
.\n
Essa fórmula é a que usaremos repetidamente. Note que em cada passo só precisamos multiplicar por
e somar
.
Essa fórmula é a que usaremos repetidamente. Note que em cada passo só precisamos multiplicar
Passo 4
Cálculo de
(n = 0):\n
Usando e
:
Usando
Fazendo as contas:
logo
Passo 5
Cálculo de
(n = 1):\n
Aqui e
:
Aqui
Calculando:
logo
Passo 6
Cálculo de
(n = 2):\n
,
:
Calculando:
logo
Passo 7
Cálculo de
(n = 3):\n
,
:
Calculando:
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Passo 8
Cálculo de
(n = 4):\n
,
:
Calculando:
logo
Passo 9
Cálculo de
(n = 5):\n
,
:
Calculando:
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Passo 10
Cálculo de
(n = 6):\n
,
:
Calculando:
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Passo 11
Cálculo de
(n = 7):\n
,
:
Calculando:
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Passo 12
Cálculo de
(n = 8):\n
,
:
Calculando:
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Passo 13
Cálculo de
(n = 9, que fornece a aproximação em
):\n
,
:
Calculando:
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Arredondando para 6 casas decimais quando conveniente, os valores ficam comíodos para leitura (mas mantive a maior parte dos intermediários com precisão suficiente).