Calcular a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. com h=0,1, no interior do intervalo [ 0,1 ], pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dx} = -x\,y,\\[6pt] y(0)=1, \end{cases}
e pede que a solução seja aproximada no interior do intervalo [0,1] pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo h=0,1.
Informações relevantes que temos:
  • A função que define a EDO é f(x,y)=-x\,y.
  • Condição inicial: x_{0}=0, y_{0}=1.
  • Passo: h=0,1 (ou seja, iremos calcular y em x=0,1;0,2;\dots;0,9).
  • O que se pede: os valores aproximados de y nos pontos interiores x=0,1;0,2;\dots;0,9.]

Passo 2

Explicação didática do método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) e definição das variáveis.
O RK4 estima y_{n+1} a partir de y_n e x_n pelo esquema
\begin{aligned} k_{1} &= f(x_n,y_n),\\[4pt] k_{2} &= f\Bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_{1}\Bigr),\\[4pt] k_{3} &= f\Bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_{2}\Bigr),\\[4pt] k_{4} &= f(x_n+h,\,y_n+h k_{3}),\\[4pt] y_{n+1} &= y_n + \dfrac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr). \end{aligned}
Aqui:
  • f(x,y) é a função do lado direito da EDO: f(x,y)=-x\,y.
  • k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} são inclinações intermediárias (taxas) calculadas em pontos diferentes dentro do passo; eles tentam capturar a curvatura da solução dentro do intervalo [x_n,x_{n+1}].
  • h é o passo ( h=0,1 neste problema).
    No que segue vou aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando k_1,k_2,k_3,k_4 e o novo y_{n+1} para cada nó x_{n+1}=x_n+h. Usarei vírgula para decimais conforme pedido.]

Passo 3

Iteração 1: de x_{0}=0 para x_{1}=0,1, com y_{0}=1.
\begin{aligned} k_{1} &= f(0,1) = -0\cdot 1 = 0,\\[4pt] k_{2} &= f\Bigl(0,05,\;1+\tfrac{0,1}{2}\cdot 0\Bigr)= -0,05\cdot 1 = -0,05,\\[4pt] k_{3} &= f\Bigl(0,05,\;1+\tfrac{0,1}{2}\cdot(-0,05)\Bigr)= -0,05\cdot\bigl(1-0,0025\bigr)= -0,05\cdot 0,9975 = -0,049875,\\[4pt] k_{4} &= f\Bigl(0,1,\;1+0,1\cdot(-0,049875)\Bigr) = -0,1\cdot(1-0,0049875)= -0,1\cdot 0,9950125 = -0,09950125. \end{aligned}
Aplicando a fórmula de atualização:
y_{1}=1+\dfrac{0,1}{6}\bigl(0+2(-0,05)+2(-0,049875)+(-0,09950125)\bigr)=0,9950124792.]

Passo 4

Iteração 2: de x_{1}=0,1 para x_{2}=0,2, com y_{1}=0,9950124792.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,1\cdot 0,9950124792 = -0,09950124792,\\[4pt] y_{1}^{(a)} &= y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{1}=0,9950124792+0,05(-0,09950124792)=0,990037416804,\\[4pt] k_{2} &= -0,15\cdot 0,990037416804 = -0,1485056125206,\\[4pt] y_{1}^{(b)} &= y_{1}+\tfrac{h}{2}k_{2}=0,9950124792+0,05(-0,1485056125206)=0,98758719857397,\\[4pt] k_{3} &= -0,15\cdot 0,98758719857397 = -0,1481380797860955,\\[4pt] y_{1}^{\text{(c)}} &= y_{1}+h k_{3}=0,9950124792+0,1(-0,1481380797860955)=0,9801986712213905,\\[4pt] k_{4} &= -0,2\cdot 0,9801986712213905 = -0,1960397342442781. \end{aligned}
Atualização:
y_{2}=0,9950124792+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,09950124792+2(-0,1485056125206)+2(-0,1481380797860955)+(-0,1960397342442781)\bigr)=0,9801986731.]

Passo 5

Iteração 3: de x_{2}=0,2 para x_{3}=0,3, com y_{2}=0,9801986730570388.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,2\cdot 0,9801986730570388 = -0,19603973461140776,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,9801986730570388+0,05(-0,19603973461140776)=0,9703966863264684,\\[4pt] k_{2} &= -0,25\cdot 0,9703966863264684 = -0,2425991715816171,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,9801986730570388+0,05(-0,2425991715816171)=0,9680687144779579,\\[4pt] k_{3} &= -0,25\cdot 0,9680687144779579 = -0,24201717861948948,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,9801986730570388+0,1(-0,24201717861948948)=0,9559969551950898,\\[4pt] k_{4} &= -0,3\cdot 0,9559969551950898 = -0,28679908655852695. \end{aligned}
Atualização:
y_{3}=0,9801986730570388+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,19603973461140776+2(-0,2425991715816171)+2(-0,24201717861948948)+(-0,28679908655852695)\bigr)=0,9559974810.]

Passo 6

Iteração 4: de x_{3}=0,3 para x_{4}=0,4, com y_{3}=0,9559974810308363.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,3\cdot 0,9559974810308363 = -0,2867992443092509,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,9559974810308363+0,05(-0,2867992443092509)=0,9416575188153737,\\[4pt] k_{2} &= -0,35\cdot 0,9416575188153737 = -0,3295801315853808,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,9559974810308363+0,05(-0,3295801315853808)=0,9395184744515673,\\[4pt] k_{3} &= -0,35\cdot 0,9395184744515673 = -0,32883146605804856,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,9559974810308363+0,1(-0,32883146605804856)=0,9231143344250314,\\[4pt] k_{4} &= -0,4\cdot 0,9231143344250314 = -0,36924573377001256. \end{aligned}
Atualização:
y_{4}=0,9559974810308363+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,2867992443092509+2(-0,3295801315853808)+2(-0,32883146605804856)+(-0,36924573377001256)\bigr)=0,9231163448.]

Passo 7

Iteração 5: de x_{4}=0,4 para x_{5}=0,5, com y_{4}=0,9231163448080676.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,4\cdot 0,9231163448080676 = -0,36924653792322704,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,9231163448080676+0,05(-0,36924653792322704)=0,9046540179119063,\\[4pt] k_{2} &= -0,45\cdot 0,9046540179119063 = -0,40709430806035785,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,9231163448080676+0,05(-0,40709430806035785)=0,9027616294050497,\\[4pt] k_{3} &= -0,45\cdot 0,9027616294050497 = -0,40624273323227235,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,9231163448080676+0,1(-0,40624273323227235)=0,8824920714848404,\\[4pt] k_{4} &= -0,5\cdot 0,8824920714848404 = -0,4412460357424202. \end{aligned}
Atualização:
y_{5}=0,9231163448080676+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,36924653792322704+2(-0,40709430806035785)+2(-0,40624273323227235)+(-0,4412460357424202)\bigr)=0,8824969005.]

Passo 8

Iteração 6: de x_{5}=0,5 para x_{6}=0,6, com y_{5}=0,8824969005372191.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,5\cdot 0,8824969005372191 = -0,44124845026860956,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,8824969005372191+0,05(-0,44124845026860956)=0,8604344780237886,\\[4pt] k_{2} &= -0,55\cdot 0,8604344780237886 = -0,47323896291308374,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,8824969005372191+0,05(-0,47323896291308374)=0,8588349523915649,\\[4pt] k_{3} &= -0,55\cdot 0,8588349523915649 = -0,4723592238153607,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,8824969005372191+0,1(-0,4723592238153607)=0,8352609781556831,\\[4pt] k_{4} &= -0,6\cdot 0,8352609781556831 = -0,5011565868934099. \end{aligned}
Atualização:
y_{6}=0,8824969005372191+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,44124845026860956+2(-0,47323896291308374)+2(-0,4723592238153607)+(-0,5011565868934099)\bigr)=0,8352702104.]

Passo 9

Iteração 7: de x_{6}=0,6 para x_{7}=0,7, com y_{6}=0,8352702103602373.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,6\cdot 0,8352702103602373 = -0,5011621262161424,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,8352702103602373+0,05(-0,5011621262161424)=0,8102121040494302,\\[4pt] k_{2} &= -0,65\cdot 0,8102121040494302 = -0,5266378676321296,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,8352702103602373+0,05(-0,5266378676321296)=0,8089383169786308,\\[4pt] k_{3} &= -0,65\cdot 0,8089383169786308 = -0,52681090503511,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,8352702103602373+0,1(-0,52681090503511)=0,7825891198567263,\\[4pt] k_{4} &= -0,7\cdot 0,7825891198567263 = -0,5478123838997084. \end{aligned}
Atualização:
y_{7}=0,8352702103602373+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,5011621262161424+2(-0,5266378676321296)+2(-0,52681090503511)+(-0,5478123838997084)\bigr)=0,7826723428.]

Passo 10

Iteração 8: de x_{7}=0,7 para x_{8}=0,8, com y_{7}=0,7826723427693985.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,7\cdot 0,7826723427693985 = -0,5478706399385789,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,7826723427693985+0,05(-0,5478706399385789)=0,7552788107724695,\\[4pt] k_{2} &= -0,75\cdot 0,7552788107724695 = -0,5664591080793522,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,7826723427693985+0,05(-0,5664591080793522)=0,7543493873654309,\\[4pt] k_{3} &= -0,75\cdot 0,7543493873654309 = -0,5657620405480982,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,7826723427693985+0,1(-0,5657620405480982)=0,7260961387145887,\\[4pt] k_{4} &= -0,8\cdot 0,7260961387145887 = -0,5808769109716709. \end{aligned}
Atualização:
y_{8}=0,7826723427693985+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,5478706399385789+2(-0,5664591080793522)+2(-0,5657620405480982)+(-0,5808769109716709)\bigr)=0,7261191786.]

Passo 11

Iteração 9: de x_{8}=0,8 para x_{9}=0,9, com y_{8}=0,7261191786333127.
\begin{aligned} k_{1} &= -0,8\cdot 0,7261191786333127 = -0,58089534290665,\\[4pt] y^{(a)} &= 0,7261191786333127+0,05(-0,58089534290665)=0,6970744114879802,\\[4pt] k_{2} &= -0,85\cdot 0,6970744114879802 = -0,5925132494647832,\\[4pt] y^{(b)} &= 0,7261191786333127+0,05(-0,5925132494647832)=0,6964935161600735,\\[4pt] k_{3} &= -0,85\cdot 0,6964935161600735 = -0,5920194887360625,\\[4pt] y^{\text{(c)}} &= 0,7261191786333127+0,1(-0,5920194887360625)=0,6669172297597065,\\[4pt] k_{4} &= -0,9\cdot 0,6669172297597065 = -0,6002255067837359. \end{aligned}
Atualização:
y_{9}=0,7261191786333127+\dfrac{0,1}{6}\bigl(-0,58089534290665+2(-0,5925132494647832)+2(-0,5920194887360625)+(-0,6002255067837359)\bigr)=0,6669494065.]

Resposta

y(0,1)=0,9950124792
y(0,2)=0,9801986731
y(0,3)=0,9559974810
y(0,4)=0,9231163448
y(0,5)=0,8824969005
y(0,6)=0,8352702104
y(0,7)=0,7826723428
y(0,8)=0,7261191786
y(0,9)=0,6669494065

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