Calcular a solução do PVI \left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-x y \\\ y(0)=1\end{array}\right. com h=0,1, no interior do intervalo [ 0,1 ], pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.
e pede que a solução seja aproximada no interior do intervalo [0,1] pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem com passo h=0,1.
Informações relevantes que temos:
A função que define a EDO é f(x,y)=-x\,y.
Condição inicial: x_{0}=0, y_{0}=1.
Passo: h=0,1 (ou seja, iremos calcular y em x=0,1;0,2;\dots;0,9).
O que se pede: os valores aproximados de y nos pontos interiores x=0,1;0,2;\dots;0,9.]
Passo 2
Explicação didática do método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) e definição das variáveis.
O RK4 estima y_{n+1} a partir de y_n e x_n pelo esquema
f(x,y) é a função do lado direito da EDO: f(x,y)=-x\,y.
k_{1},k_{2},k_{3},k_{4} são inclinações intermediárias (taxas) calculadas em pontos diferentes dentro do passo; eles tentam capturar a curvatura da solução dentro do intervalo [x_n,x_{n+1}].
h é o passo (h=0,1 neste problema).
No que segue vou aplicar essa fórmula passo a passo, mostrando k_1,k_2,k_3,k_4 e o novo y_{n+1} para cada nó x_{n+1}=x_n+h. Usarei vírgula para decimais conforme pedido.]
Passo 3
Iteração 1: de x_{0}=0 para x_{1}=0,1, com y_{0}=1.