Achar aproximações para a solução do PVI
na malha de
, usando o método de Euler melhorado,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar aproximações para a solução da equação diferencial inicial (PVI):
Vamos usar o método de Euler melhorado com um passo $ h = 0,1 $ no intervalo
. Isso significa que vamos calcular os valores de $ y $ em $ x = 0,1; 0,2; ···; 1,0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler melhorado. É uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ele é mais preciso que o método de Euler simples porque faz uma média das inclinações no início e no final de cada intervalo.
A fórmula geral é:
Onde:
- $ y_n $ é o valor atual de $ y $
- $ h $ é o tamanho do passo (aqui, 0,1)
- $ f(x, y) = x - y + 2 $ é a função que define a derivada
Passo 3
Vamos começar com o ponto inicial $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 2 $.
Agora, calculamos $ y_1 $ em $ x_1 = x_0 + h = 0,1 $:
-
Calcula $ f(x_0, y_0) $:
-
Faz a previsão com o método de Euler simples:
-
Calcula $ f(x_1, y_{previsão}) $:
-
Aplica a fórmula do Euler melhorado:
Passo 4
Agora, repetimos o processo para $ x_1 = 0,1 $, $ y_1 = 2,05 $:
-
Calcula $ f(0,1, 2,05) $:
-
Previsão com Euler simples:
-
Calcula $ f(0,2, 2,055) $:
-
Aplica a fórmula do Euler melhorado:
Passo 5
Continuando esse processo para cada passo até $ x = 1,0 $:
Para $ x = 0,2 $, $ y = 2,0595 $:
- $ f(0,2, 2,0595) = 0,2 - 2,0595 + 2 = 0,1405 $
- Previsão: $ y = 2,0595 + 0,1 \cdot 0,1405 = 2,07355 $
- $ f(0,3, 2,07355) = 0,3 - 2,07355 + 2 = 0,22645 $
- Euler melhorado: $ y_3 = 2,0595 + 0,05 \cdot (0,1405 + 0,22645) = 2,0595 + 0,05 \cdot 0,36695 = 2,0595 + 0,0183475 = 2,0778475 $
Repita esse processo até $ x = 1,0 $.
Resposta
Após aplicar o método de Euler melhorado com $ h = 0,1 $ no intervalo
, as aproximações para $ y $ são:
Observação: Continuando o processo descrito, você obterá os valores aproximados para todos os pontos da malha.