Achar aproximações para a solução do PVI ly^prime=x-y+2 y(0)=2 na malha de [0,1], usando o método de Euler melhorado, com h=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar aproximações para a solução da equação diferencial inicial (PVI):
y' = x - y + 2 y(0) = 2
Vamos usar o método de Euler melhorado com um passo $ h = 0,1 $ no intervalo h = 0,1 . Isso significa que vamos calcular os valores de $ y $ em $ x = 0,1; 0,2; ···; 1,0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler melhorado. É uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais. Ele é mais preciso que o método de Euler simples porque faz uma média das inclinações no início e no final de cada intervalo.
A fórmula geral é:
yn+1 = yn + h2 [ f(xn, yn) + f(xn+1, yn + h cdot f(xn, yn)) ]
Onde:
  • $ y_n $ é o valor atual de $ y $
  • $ h $ é o tamanho do passo (aqui, 0,1)
  • $ f(x, y) = x - y + 2 $ é a função que define a derivada

Passo 3

Vamos começar com o ponto inicial $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 2 $.
Agora, calculamos $ y_1 $ em $ x_1 = x_0 + h = 0,1 $:
  1. Calcula $ f(x_0, y_0) $:
    x0 = 0
  2. Faz a previsão com o método de Euler simples:
    y0 = 2 ã
  3. Calcula $ f(x_1, y_{previsão}) $:
    y1
  4. Aplica a fórmula do Euler melhorado:
    x1 = x0 + h = 0,1

Passo 4

Agora, repetimos o processo para $ x_1 = 0,1 $, $ y_1 = 2,05 $:
  1. Calcula $ f(0,1, 2,05) $:
    x1 = 0,1
  2. Previsão com Euler simples:
    y1 = 2,05 ã
  3. Calcula $ f(0,2, 2,055) $:
    f(0,1, 2,05)
  4. Aplica a fórmula do Euler melhorado:
    f(0,1, 2,05) = 0,1 - 2,05 + 2 = 0,05

Passo 5

Continuando esse processo para cada passo até $ x = 1,0 $:
Para $ x = 0,2 $, $ y = 2,0595 $:
  1. $ f(0,2, 2,0595) = 0,2 - 2,0595 + 2 = 0,1405 $
  2. Previsão: $ y = 2,0595 + 0,1 \cdot 0,1405 = 2,07355 $
  3. $ f(0,3, 2,07355) = 0,3 - 2,07355 + 2 = 0,22645 $
  4. Euler melhorado: $ y_3 = 2,0595 + 0,05 \cdot (0,1405 + 0,22645) = 2,0595 + 0,05 \cdot 0,36695 = 2,0595 + 0,0183475 = 2,0778475 $
Repita esse processo até $ x = 1,0 $.

Resposta

Após aplicar o método de Euler melhorado com $ h = 0,1 $ no intervalo h = 0,1 , as aproximações para $ y $ são:
[0,1]
Observação: Continuando o processo descrito, você obterá os valores aproximados para todos os pontos da malha.

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