No problema de mínimos quadrados queremos determinar uma reta
que passe o mais próximo possível de um conjunto de dados
. Para isso, é necessário definir uma função a ser minimizada. Use um exemplo para explicar por que as funções abaixo não são escolhas adequadas.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: na regressão linear a gente quer achar a reta
que fique “mais pertinho” de um monte de pontos
. Pra isso, a gente define uma função de erro e minimiza ela. O exercício pergunta por que a função
não serve. O conteúdo aqui é mínimos quadrados e resíduos (a diferença entre valor observado e valor previsto). Vamos usar um exemplo simples pra mostrar que essa soma de resíduos não traz informação útil: ela pode cancelar ou não ter mínimo.
Passo 2
Primeiro, lembra do que é resíduo:
A ideia de uma função de erro é medir “o quanto, em módulo, a reta erra” nos pontos. Mas em
os resíduos positivos e negativos podem se anular. Ou seja, dá pra ter erro grande em cada ponto e mesmo assim a soma ficar zerada. Além disso,
é uma função linear em
e
, sem ponto de mínimo único.
Passo 3
Vamos tomar um exemplo bem simples: dois pontos
e
.
- Para
, o resíduo é . - Para
, o resíduo é .
Então
Repara que:
- Se escolhermos
(a reta ideal), dá . - Mas se a gente pegar, por exemplo,
(reta ), dá
mesmo tendo um ajuste péssimo (um ponto acima da reta, outro abaixo).
Além disso, como é linear, é possível deixar
e
muito grandes (ou muito negativos) e fazer
ir pra
. Ou seja, não existe um mínimo bem definido.
Além disso, como
Resposta
A função
não serve porque:
- resíduos positivos e negativos se cancelam, dando valor zero mesmo para ajuste ruim;
- sendo linear em
, não tem mínimo único nem valor de erro que faça sentido. Por isso usamos a soma dos quadrados dos resíduos, que é sempre não-negativa e tem mínimo bem comportado.