Considere
. Para as contas a seguir, considere duas casas após a virgula e use arredondamento.
Aproxime.o valor dessa integral usando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos.
Aproxime.o valor dessa integral usando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre calcular a integral
usando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de Métodos Numéricos para aproximação de integrais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de Gauss-Legendre e fazer algumas substituições para adaptar os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos para uma integral no intervalo
é dada por:
Onde os pontos
e
são
e
, respectivamente, e os pesos
e
são ambos iguais a 1.
Passo 3
Nosso objetivo é adaptar essa fórmula para a integral que vai de 2 a 4. Para isso, vamos fazer uma mudança de variável que transforma o intervalo
para
. A mudança de variável é:
Onde
e
. Calculando:
Passo 4
O diferencial
também muda com a substituição:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos, temos:
Onde:
E
.
Passo 6
Agora, vamos calcular cada termo:
Somando os dois:
Resposta
O valor aproximado da integral é 6,33.