Considere integral2^4 raiz1+x^2 d x. Para as contas a seguir, considere duas casas após a virgula e use arredondamento.
Aproxime.o valor dessa integral usando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre calcular a integral integral2^4 raiz1+x^2 , dx usando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de Métodos Numéricos para aproximação de integrais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de Gauss-Legendre e fazer algumas substituições para adaptar os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos para uma integral no intervalo [-1, 1] é dada por:
integral-1^1 f(xi) , dxi approx w1 f(xi1) + w2 f(xi2)
Onde os pontos xi1 e xi2 são -1raiz3 e 1raiz3, respectivamente, e os pesos w1 e w2 são ambos iguais a 1.

Passo 3

Nosso objetivo é adaptar essa fórmula para a integral que vai de 2 a 4. Para isso, vamos fazer uma mudança de variável que transforma o intervalo [2, 4] para [-1, 1]. A mudança de variável é:
x = b - a2 xi + a + b2
Onde a = 2 e b = 4. Calculando:
x = 4 - 22 xi + 2 + 42 = xi + 3

Passo 4

O diferencial dx também muda com a substituição:
dx = b - a2 dxi = 1 cdot dxi
Então, a integral original fica:
integral2^4 raiz1+x^2 , dx = integral-1^1 raiz1+( xi + 3 )^2 cdot 1 , dxi

Passo 5

Aplicando a fórmula de Gauss-Legendre com 2 pontos, temos:
integral2^4 raiz1+x^2 , dx approx w1 raiz1+(x1)^2 + w2 raiz1+(x2)^2
Onde:
x1 = -1raiz3 + 3 approx 2.423
x2 = 1raiz3 + 3 approx 3.577
E w1 = w2 = 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular cada termo:
raiz1+(2.423)^2 approx raiz1 + 5.872 approx raiz6.872 approx 2.62
raiz1+(3.577)^2 approx raiz1 + 12.796 approx raiz13.796 approx 3.71
Somando os dois:
2.62 + 3.71 = 6.33

Resposta

O valor aproximado da integral é 6,33.

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