Achar aproximações para a solução do PVI
na malha de
com
, usando:
o método RK3 (6.29)
o método RK3 (6.29)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial. A gente tem a equação $ y’ = y - \frac{2x}{y} $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. A ideia é encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de $ [0,1] $ usando um passo $ h = 0,2 $, aplicando o método de Runge-Kutta de terceira ordem (RK3). Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do método RK3 e calcular passo a passo os valores de $ y $ nos pontos $ x = 0, 0.2, 0.4, ···, 1.0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método RK3. Esse método utiliza três estimativas intermediárias (k1, k2 e k3) para calcular o próximo valor de $ y $. As fórmulas são as seguintes:
Nesse caso, a função $ f(x, y) = y - \frac{2x}{y} $.
Passo 3
Vamos começar com $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $. O passo $ h = 0,2 $. Vamos calcular $ y_1 $ em $ x_1 = 0,2 $.
Calcular $ k_1 $:
Passo 4
Calcular $ k_2 $:
Passo 5
Calcular $ k_3 $:
Passo 6
Agora, calcular $ y_1 $:
Passo 7
Repetimos o processo para $ x_1 = 0,2 $ e $ y_1 = 1,1056 $ para encontrar $ y_2 $ em $ x_2 = 0,4 $.
Calcular $ k_1 $:
Passo 8
Calcular $ k_2 $:
Passo 9
Calcular $ k_3 $:
Passo 10
Calcular $ y_2 $:
Passo 11
Continuando esse processo passo a passo até $ x = 1,0 $, aplicando o método RK3 em cada intervalo de $ h = 0,2 $, obtemos as seguintes aproximações para $ y $:
- $ y(0,0) = 1,0000 $
- $ y(0,2) \approx 1,1056 $
- $ y(0,4) \approx 1,2390 $
- $ y(0,6) \approx 1,4075 $
- $ y(0,8) \approx 1,6032 $
- $ y(1,0) \approx 1,8284 $
Resposta
As aproximações para a solução do PVI no intervalo [0,1] com $ h = 0,2 $ usando o método RK3 são: