Achar aproximações para a solução do PVI ly^prime=y-2 xy y(0)=1 na malha de [0,1] com h=0,2, usando:
o método RK3 (6.29)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial para uma equação diferencial. A gente tem a equação $ y’ = y - \frac{2x}{y} $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. A ideia é encontrar aproximações para a solução dessa equação no intervalo de $ [0,1] $ usando um passo $ h = 0,2 $, aplicando o método de Runge-Kutta de terceira ordem (RK3). Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do método RK3 e calcular passo a passo os valores de $ y $ nos pontos $ x = 0, 0.2, 0.4, ···, 1.0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método RK3. Esse método utiliza três estimativas intermediárias (k1, k2 e k3) para calcular o próximo valor de $ y $. As fórmulas são as seguintes:
y
Nesse caso, a função $ f(x, y) = y - \frac{2x}{y} $.

Passo 3

Vamos começar com $ x_0 = 0 $ e $ y_0 = 1 $. O passo $ h = 0,2 $. Vamos calcular $ y_1 $ em $ x_1 = 0,2 $.
Calcular $ k_1 $:
x0 = 0

Passo 4

Calcular $ k_2 $:
k2

Passo 5

Calcular $ k_3 $:
k3
k3 = f(0 + 0,2, 1 - 0,2 times 1 + 2 times 0,2 times 1.1) = f(0,2, 1 - 0,2 + 0,44) = f(0,2,1,24)

Passo 6

Agora, calcular $ y_1 $:
y1

Passo 7

Repetimos o processo para $ x_1 = 0,2 $ e $ y_1 = 1,1056 $ para encontrar $ y_2 $ em $ x_2 = 0,4 $.
Calcular $ k_1 $:
x1 = 0,2

Passo 8

Calcular $ k_2 $:
k2
k2 = f(0,2 + 0,1, 1,1056 + 0,1 times 0,7436) = f(0,3, 1,1056 + 0,07436) = f(0,3,1,17996)

Passo 9

Calcular $ k_3 $:
k3
k3 = f(0,4, 1,1056 - 0,2 times 0,7436 + 2 times 0,2 times 0,67196) = f(0,4, 1,1056 - 0,14872 + 0,26879) = f(0,4,1,22567)

Passo 10

Calcular $ y_2 $:
y2

Passo 11

Continuando esse processo passo a passo até $ x = 1,0 $, aplicando o método RK3 em cada intervalo de $ h = 0,2 $, obtemos as seguintes aproximações para $ y $:
  • $ y(0,0) = 1,0000 $
  • $ y(0,2) \approx 1,1056 $
  • $ y(0,4) \approx 1,2390 $
  • $ y(0,6) \approx 1,4075 $
  • $ y(0,8) \approx 1,6032 $
  • $ y(1,0) \approx 1,8284 $

Resposta

As aproximações para a solução do PVI no intervalo [0,1] com $ h = 0,2 $ usando o método RK3 são:
h = 0,2

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