Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n tende a infinito da sequência
\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre um produto de polinômios no numerador e n^{3} no denominador.
  • O que se quer é \lim_{n\to\infty} dessa expressão.

Passo 2

Primeiro método (fatorando n^{3}). Escrevo cada fator do numerador isolando n:
(n+1)(n+2)(n+3)=n^{3}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right).
Dividindo por n^{3} obtenho
\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^{3}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right).

Passo 3

Agora uso propriedades de limite: para cada constante k vale \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{k}{n}\right)=1, porque \dfrac{k}{n}\to0 quando n\to\infty. Como o limite de um produto é o produto dos limites (quando os limites existem), temos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{3}{n}\right) =1\cdot1\cdot1=1.

Passo 4

Segundo método (expandindo o numerador). Posso expandir o produto:
(n+1)(n+2)(n+3)=n^{3}+6n^{2}+11n+6.
Dividindo por n^{3}
\frac{n^{3}+6n^{2}+11n+6}{n^{3}}=1+\frac{6}{n}+\frac{11}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}.
Ao mandar n\to\infty cada termo \dfrac{6}{n}, \dfrac{11}{n^{2}}, \dfrac{6}{n^{3}} tende a 0, logo o limite é 1.

Passo 5

Dica prática para a prova: para razões de polinômios com o mesmo grau, o limite quando n\to\infty é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos os coeficientes principais são 1, então o limite é 1.

Resposta

1

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