Achar os limites das sucessões:
0,2 ; 0,23 ; 0,233 ; 0,2333 ; \ldots
Passo 1
O enunciado dá a sucessão cujos primeiros termos são 0,2;\;0,23;\;0,233;\;0,2333;\;\ldots e pede o limite dessa sucessão quando o índice vai para o infinito. Vou listar claramente o que temos:
Os termos seguem o padrão: o primeiro é 0,2, o segundo é 0,23, o terceiro é 0,233, e assim por diante, adicionando um algarismo 3 a mais em cada termo.
A pergunta é: qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n, onde a_n é o n-ésimo termo dessa sucessão?
Passo 2
Vamos escrever uma expressão para o n-ésimo termo a_n. Observando os termos:
a_1 = 0,2 = \dfrac{2}{10},
a_2 = 0,23 = \dfrac{23}{100},
a_3 = 0,233 = \dfrac{233}{1000},
em geral o numerador é um inteiro que começa com o dígito 2 seguido de n-1 dígitos 3. Podemos escrever
a_n = 0,\underbrace{2 3 3 \ldots 3}_{\text{um }2 \text{ e } n-1\text{ vezes o }3}
Aqui cada potência de 10 corresponde à posição decimal do dígito.
Passo 3
A soma geométrica que aparece no numerador pode ser simplificada usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Lembrete rápido: para r\neq 1,
1 + r + r^2 + \cdots + r^{m-1}=\frac{1-r^{m}}{1-r}.
Interpretação da forma encontrada: temos uma expressão fechada para o n-ésimo termo,
a_n=\frac{7}{30} - \frac{1}{3\cdot 10^{\,n}}.
Essa forma é muito útil porque mostra que a_n é a diferença entre a constante \dfrac{7}{30} e um termo que depende de n e envolve 10^{-n}.
Passo 6
Agora calculamos o limite. Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0, pois potências de 10 crescem sem limite e seu inverso tende a zero. Logo
Em linguagem decimal \frac{7}{30}=0,23333\ldots, que faz sentido porque os termos vão acrescentando mais 3s depois do 0,23.
Passo 7
Comentário didático e motivador: uma forma intuitiva de ver isso sem contas pesadas é observar que cada novo termo adiciona um 3 numa casa decimal cada vez mais à direita, então a sequência cresce (é crescente) mas nunca ultrapassa a forma decimal com infinitos 3s 0,23333\ldots; isso mostra que ela convergirá para exatamente esse número. A derivação algébrica acima só confirma isso e dá a fração exata \dfrac{7}{30}.