Achar os limites das sucessões:
0, 2 ; 0,23 ; 0,233 ; 0,2333 ; \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sucessão cujos primeiros termos são 0,2;\;0,23;\;0,233;\;0,2333;\;\ldots e pede o limite dessa sucessão quando o índice vai para o infinito. Vou listar claramente o que temos:
  • Os termos seguem o padrão: o primeiro é 0,2, o segundo é 0,23, o terceiro é 0,233, e assim por diante, adicionando um algarismo 3 a mais em cada termo.
  • A pergunta é: qual é \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n, onde a_n é o n-ésimo termo dessa sucessão?

Passo 2

Vamos escrever uma expressão para o n-ésimo termo a_n. Observando os termos:
  • a_1 = 0,2 = \dfrac{2}{10},
  • a_2 = 0,23 = \dfrac{23}{100},
  • a_3 = 0,233 = \dfrac{233}{1000},
    em geral o numerador é um inteiro que começa com o dígito 2 seguido de n-1 dígitos 3. Podemos escrever
a_n = 0,\underbrace{2 3 3 \ldots 3}_{\text{um }2 \text{ e } n-1\text{ vezes o }3}
em forma fracionária como
a_n = \frac{2\cdot 10^{\,n-1} + 3\bigl(10^{\,n-2} + 10^{\,n-3} + \cdots + 10^{0}\bigr)}{10^{\,n}}.
Aqui cada potência de 10 corresponde à posição decimal do dígito.

Passo 3

A soma geométrica que aparece no numerador pode ser simplificada usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Lembrete rápido: para r\neq 1,
1 + r + r^2 + \cdots + r^{m-1}=\frac{1-r^{m}}{1-r}.
No nosso caso temos r=10 e m=n-1, então
10^{\,n-2} + 10^{\,n-3} + \cdots + 10^{0}=\frac{10^{\,n-1}-1}{9}.
Substituindo na expressão de a_n obtemos
a_n=\frac{2\cdot 10^{\,n-1} + 3\cdot\frac{10^{\,n-1}-1}{9}}{10^{\,n}}.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão algébrica passo a passo. Primeiro simplificar o numerador:
2\cdot 10^{\,n-1} + 3\cdot\frac{10^{\,n-1}-1}{9} =2\cdot 10^{\,n-1} + \frac{1}{3}\bigl(10^{\,n-1}-1\bigr).
Colocando termos semelhantes juntos:
= \left(2+\frac{1}{3}\right)10^{\,n-1} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\,10^{\,n-1} - \frac{1}{3}.
Dividindo por 10^{\,n} para obter a_n:
a_n=\frac{\frac{7}{3}\,10^{\,n-1} - \frac{1}{3}}{10^{\,n}} = \frac{7}{3}\cdot\frac{10^{\,n-1}}{10^{\,n}} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{10^{\,n}} = \frac{7}{30} - \frac{1}{3\cdot 10^{\,n}}.

Passo 5

Interpretação da forma encontrada: temos uma expressão fechada para o n-ésimo termo,
a_n=\frac{7}{30} - \frac{1}{3\cdot 10^{\,n}}.
Essa forma é muito útil porque mostra que a_n é a diferença entre a constante \dfrac{7}{30} e um termo que depende de n e envolve 10^{-n}.

Passo 6

Agora calculamos o limite. Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}10^{-n}=0, pois potências de 10 crescem sem limite e seu inverso tende a zero. Logo
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{3\cdot 10^{\,n}} = 0.
Aplicando limite em a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{7}{30} - \frac{1}{3\cdot 10^{\,n}}\right) = \frac{7}{30} - 0 = \frac{7}{30}.
Em linguagem decimal \frac{7}{30}=0,23333\ldots, que faz sentido porque os termos vão acrescentando mais 3s depois do 0,23.

Passo 7

Comentário didático e motivador: uma forma intuitiva de ver isso sem contas pesadas é observar que cada novo termo adiciona um 3 numa casa decimal cada vez mais à direita, então a sequência cresce (é crescente) mas nunca ultrapassa a forma decimal com infinitos 3s 0,23333\ldots; isso mostra que ela convergirá para exatamente esse número. A derivação algébrica acima só confirma isso e dá a fração exata \dfrac{7}{30}.

Resposta

\dfrac{7}{30}
0,23333\ldots

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