Achar os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A soma mostrada é a soma dos
primeiros números ímpares: . - Quer-se o valor do limite de toda a expressão quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a soma dos
primeiros ímpares. Há uma fórmula simples para a soma de uma progressão aritmética: a soma de
termos é
vezes a média do primeiro e do último termo. Aplicando isso aqui:
Explicando cada parte: o primeiro termo é
, o último é
, a média é
. Então a soma vale
(Isto também é um resultado clássico: soma dos primeiros
ímpares =
.)
Passo 3
Substituindo essa soma na expressão original obtemos
Passo 4
Vamos simplificar
por divisão polinomial, que é útil para estudar limites. Dividindo
por
:
porque
, restando
no numerador. Assim a expressão fica
Passo 5
Agora agrupamos termos semelhantes para ver o comportamento quando
. Escrevendo tudo com denominadores claros:
Cancelando
com
e juntando as constantes:
Passo 6
Fazendo
o termo
tende a
. Portanto o limite da expressão é