Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1+3+5+7+\ldots+(2 n-1)}{n+1}-\frac{2 n+1}{2}\right].

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n \to \infty da expressão
\frac{1+3+5+\ldots+(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A soma mostrada é a soma dos n primeiros números ímpares: 1,3,5,\ldots,2n-1.
  • Quer-se o valor do limite de toda a expressão quando n cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a soma dos n primeiros ímpares. Há uma fórmula simples para a soma de uma progressão aritmética: a soma de n termos é n vezes a média do primeiro e do último termo. Aplicando isso aqui:
1+3+5+\ldots+(2n-1)=n\cdot\frac{1+(2n-1)}{2}.
Explicando cada parte: o primeiro termo é 1, o último é 2n-1, a média é \dfrac{1+(2n-1)}{2}=\dfrac{2n}{2}=n. Então a soma vale
1+3+\ldots+(2n-1)=n\cdot n=n^{2}.
(Isto também é um resultado clássico: soma dos primeiros n ímpares = n^{2}.)

Passo 3

Substituindo essa soma na expressão original obtemos
\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{2n+1}{2}.

Passo 4

Vamos simplificar \dfrac{n^{2}}{n+1} por divisão polinomial, que é útil para estudar limites. Dividindo n^{2} por n+1:
\frac{n^{2}}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1},
porque (n+1)(n-1)=n^{2}-1, restando 1 no numerador. Assim a expressão fica
\left(n-1+\frac{1}{n+1}\right)-\frac{2n+1}{2}.

Passo 5

Agora agrupamos termos semelhantes para ver o comportamento quando n\to\infty. Escrevendo tudo com denominadores claros:
n-1+\frac{1}{n+1}-\left(n+\frac{1}{2}\right).
Cancelando n com -n e juntando as constantes:
(n-n)+\left(-1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{n+1}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}.

Passo 6

Fazendo n\to\infty o termo \dfrac{1}{n+1} tende a 0. Portanto o limite da expressão é
-\frac{3}{2}.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

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