Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+(-1)^{n}}{n-(-1)^{n}} .

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n\to\infty da sequência
\frac{n+(-1)^{n}}{n-(-1)^{n}}.
Dados relevantes: para todo n inteiro positivo tem-se que (-1)^{n} vale 1 quando n é par e -1 quando n é ímpar. A tarefa é calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n+(-1)^{n}}{n-(-1)^{n}}.

Passo 2

Primeira técnica (dividir por n, que é a forma mais direta): dividir numerador e denominador por n. Obtemos
\frac{n+(-1)^{n}}{n-(-1)^{n}} = \frac{1+\dfrac{(-1)^{n}}{n}}{1-\dfrac{(-1)^{n}}{n}}.
Agora observo o termo \dfrac{(-1)^{n}}{n}. Como (-1)^{n} é sempre 1 ou -1, vale a desigualdade
\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|\le\frac{1}{n}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue pelo Teorema do Confronto (ou simplesmente pela comparação) que
\frac{(-1)^{n}}{n}\to 0\quad\text{quando }n\to\infty.
Portanto, nos termos da expressão dividida:
1+\frac{(-1)^{n}}{n}\to 1\quad\text{e}\quad 1-\frac{(-1)^{n}}{n}\to 1.
Como o denominador tende a 1\neq 0, pela regra do quociente de limites temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{(-1)^{n}}{n}}{1-\dfrac{(-1)^{n}}{n}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 3

Segunda técnica (verificação por subsequências, para intuição): separar em n par e n ímpar.
  • Se n é par então (-1)^{n}=1 e a expressão vira
\frac{n+1}{n-1}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{1-\dfrac{1}{n}}\to\frac{1+0}{1-0}=1.
  • Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e a expressão vira
\frac{n-1}{n+1}=\frac{1-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}\to\frac{1-0}{1+0}=1.
Ambas as subsequências (pares e ímpares) têm limite 1. Como todos os ramos se aproximam do mesmo número, a sequência original tem limite 1. Isso confirma o resultado do Passo 2.

Passo 4

Comentário final e conselho para prova: dividir por n quando aparece um polinômio em n no numerador e denominador é um truque padrão — transforma termos que ficam pequenos em frações do tipo \dfrac{\text{constante}}{n}, que tendem a zero. Outra boa verificação é checar subsequências quando há termos alternantes como (-1)^n.

Resposta

1

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