Achar os limites:
178*. lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}}{n^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n tende a infinito da razão entre a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros e n^{3}. Ou seja, calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}}{n^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Está presente a soma \sum_{k=1}^{n} k^{2}.
  • Quer-se o comportamento assintótico dessa soma dividido por n^{3} quando n\to\infty.

Passo 2

Vou usar a fórmula fechada conhecida para a soma dos quadrados. A fórmula é
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Explicando rapidamente por que essa fórmula é válida (prova por indução, passo a passo):
  • Caso base: para n=1,
\sum_{k=1}^{1} k^{2} = 1^{2} = 1
e a fórmula dá \dfrac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}=1. OK.
  • Passo indutivo: suponha que para algum n vale
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Então para n+1 temos
\sum_{k=1}^{n+1} k^{2} = \sum_{k=1}^{n} k^{2} + (n+1)^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2}.
Colocando em evidência (n+1) e somando as frações:
\frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^{2}}{6} = \frac{(n+1)\big(n(2n+1) + 6(n+1)\big)}{6}.
Calcule o interior:
n(2n+1) + 6(n+1) = 2n^{2}+n + 6n + 6 = 2n^{2}+7n+6.
Fatorando 2n^{2}+7n+6 = (n+2)(2n+3), obtemos
\sum_{k=1}^{n+1} k^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},
que é justamente a fórmula para n+1. Assim a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Substituo a fórmula no limite pedido:
\lim_{n\to\infty}\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^{3}}.
Simplifico a fração:
\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6\,n^{3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6\,n^{3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}}{6}.

Passo 4

Agora uso propriedades básicas de limites de sequências: se a_{n}\to a e b_{n}\to b então a_{n}+b_{n}\to a+b e c\cdot a_{n}\to c\cdot a. Sabendo que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\qquad\text{e}\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0,
segue que
\lim_{n\to\infty}\left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}\right)=2+0+0=2.
Portanto o limite da expressão da etapa anterior é \dfrac{2}{6}. (Próximo passo: simplificar esse número.)

Passo 5

Uma observação alternativa, útil para intuir o resultado: escrevendo a expressão como
\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2},
reconhece-se uma soma de Riemann que converge para \int_{0}^{1} x^{2}\,dx, cujo valor é \dfrac{1}{3}. Isso confirma a resposta obtida pela conta algébrica.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados