Achar os limites:
178*.
.
178*.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da razão entre a soma dos quadrados dos primeiros
inteiros e
. Ou seja, calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Está presente a soma
. - Quer-se o comportamento assintótico dessa soma dividido por
quando .
Passo 2
Vou usar a fórmula fechada conhecida para a soma dos quadrados. A fórmula é
Explicando rapidamente por que essa fórmula é válida (prova por indução, passo a passo):
- Caso base: para
,
e a fórmula dá
. OK.
- Passo indutivo: suponha que para algum
vale
Então para
temos
Colocando em evidência
e somando as frações:
Calcule o interior:
Fatorando
, obtemos
que é justamente a fórmula para
. Assim a fórmula vale para todo
.
Passo 3
Substituo a fórmula no limite pedido:
Simplifico a fração:
Passo 4
Agora uso propriedades básicas de limites de sequências: se
e
então
e
. Sabendo que
segue que
Portanto o limite da expressão da etapa anterior é
. (Próximo passo: simplificar esse número.)
Passo 5
Uma observação alternativa, útil para intuir o resultado: escrevendo a expressão como
reconhece-se uma soma de Riemann que converge para
, cujo valor é
. Isso confirma a resposta obtida pela conta algébrica.