Achar os limites das sucessões: 1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3},-\frac{1}{4}, \ldots, \frac{(-1)^{n-1}}{n}, \ldots;
Passo 1
O enunciado dá a sucessão cujos termos são
a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n},\qquad n=1,2,3,\ldots
As perguntas implícitas são: qual é o limite de (a_n) quando n\to\infty? e justificar por que esse é o limite.
Passo 2
Observação intuitiva (ajuda a entender o que vai acontecer): os sinais dos termos alternam porque de vez em quando (-1)^{n-1} é +1 (quando n é ímpar) e de vez em quando é -1 (quando n é par). Já o tamanho absoluto dos termos é \dfrac{1}{n}, que vai diminuindo para zero quando n aumenta. Então parece razoável que os termos “vão para zero”, ou seja, que o limite seja 0.
Passo 3
Vamos mostrar uma propriedade simples e útil sobre o valor absoluto dos termos:
Portanto o comportamento de (a_n) está completamente controlado pela sequência \left(\dfrac{1}{n}\right).
Passo 4
Fato conhecido (e fácil de provar):
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Prova curta por \varepsilon-N (isto é importante para a prova): dado \varepsilon>0, escolha um inteiro N tal que
N>\frac{1}{\varepsilon},
o que é possível pelo princípio arquimediano. Então, para todo n\ge N vale
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Assim \dfrac{1}{n}\to0.
Passo 5
Aplicando o princípio do “squeeze” (teorema do confronto) temos que, para todo n,
-\frac{1}{n}\le a_n\le \frac{1}{n}.
Como já mostramos que \dfrac{1}{n}\to0 e também -\dfrac{1}{n}\to0, o teorema do confronto implica que a_n também converge para 0. Em palavras: a_n fica preso entre duas sequências que tendem a 0, logo a_n\to0.
Passo 6
Alternativa (prova direta por \varepsilon-N) — para ver na prova: dado \varepsilon>0 escolha N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Para n\ge N temos