Agora observe a segunda parcela \dfrac{1}{2n-1}. À medida que n cresce, o denominador 2n-1 cresce sem limite, então a fração \dfrac{1}{2n-1} tende a 0. Assim, pela soma de limites,
\lim_{n\to\infty}a_n=1+0=1.
Passo 3
Mostro um método alternativo (útil para outras razões racionais): dividir numerador e denominador por n:
a_n=\frac{2n}{2n-1}=\frac{2}{2-\tfrac{1}{n}}.
Sabendo que \tfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty, tem-se 2-\tfrac{1}{n}\to2. Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos passar ao limite da razão:
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{2-0}=\frac{2}{2}=1.
Passo 4
Para ficar completamente rigoroso, faço uma prova \varepsilon-N. Seja \varepsilon>0 dado. Temos
Para n\ge1 vale 2n-1\ge n, logo \dfrac{1}{2n-1}\le\dfrac{1}{n}. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N,
|a_n-1|\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe N com a propriedade acima, portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1.
Passo 5
Resumo didático e incentivador: a ideia chave é perceber que a_n difere de 1 por uma fração cujo denominador cresce proporcionalmente a n, então essa diferença desaparece quando n tende a infinito. Ótimo trabalho chegando até aqui — a técnica de escrever como 1+ algo que tende a zero é muito prática em provas rápidas.