Achar os limites das sucessões:
\frac{2}{1}, \frac{4}{3}, \frac{6}{5}, \ldots, \frac{2 n}{2 n-1}, \ldots;

Passo 1

O enunciado dá a sucessão
\frac{2}{1},\\ \frac{4}{3},\\ \frac{6}{5},\\ \ldots,\\ \frac{2n}{2n-1},\\ \ldots
e pede o limite quando n\to\infty. Vou identificar o termo geral da sucessão: para todo n\in\mathbb{N} o termo é
a_n=\frac{2n}{2n-1}.
O objetivo é calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.

Passo 2

Uma maneira direta de ver o comportamento é reescrever a_n separando 1 e a parte que tende a zero. Faço a álgebra:
a_n=\frac{2n}{2n-1}=\frac{2n-1+1}{2n-1}=1+\frac{1}{2n-1}.
Agora observe a segunda parcela \dfrac{1}{2n-1}. À medida que n cresce, o denominador 2n-1 cresce sem limite, então a fração \dfrac{1}{2n-1} tende a 0. Assim, pela soma de limites,
\lim_{n\to\infty}a_n=1+0=1.

Passo 3

Mostro um método alternativo (útil para outras razões racionais): dividir numerador e denominador por n:
a_n=\frac{2n}{2n-1}=\frac{2}{2-\tfrac{1}{n}}.
Sabendo que \tfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty, tem-se 2-\tfrac{1}{n}\to2. Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos passar ao limite da razão:
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{2-0}=\frac{2}{2}=1.

Passo 4

Para ficar completamente rigoroso, faço uma prova \varepsilon- N. Seja \varepsilon>0 dado. Temos
|a_n-1|=\left|\frac{2n}{2n-1}-1\right|=\frac{1}{2n-1}.
Para n\ge1 vale 2n-1\ge n, logo \dfrac{1}{2n-1}\le\dfrac{1}{n}. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N,
|a_n-1|\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe N com a propriedade acima, portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1.

Passo 5

Resumo didático e incentivador: a ideia chave é perceber que a_n difere de 1 por uma fração cujo denominador cresce proporcionalmente a n, então essa diferença desaparece quando n tende a infinito. Ótimo trabalho chegando até aqui — a técnica de escrever como 1+ algo que tende a zero é muito prática em provas rápidas.

Resposta

1

Exercícios relacionados