Calcular
, se:
.
Dado que
Dado que
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
-
. - A condição desejada é
.
O que o problema pede:
- Encontrar um
tal que, sempre que , seja garantido que .
Passo 2
Explicação da estratégia (sem ainda calcular): para controlar
em função de
vamos fatorar o polinômio. A ideia típica é escrever
como produto envolvendo
e então limitar o outro fator por uma constante, escolhendo
pequeno. Isso transforma a condição
em uma condição simples sobre
.
Passo 3
Fatoração e propriedade dos módulos. Usamos que
e que
. Assim
Portanto, para controlar
basta controlar
e obter um limite superior para
.
Passo 4
Como limitar
de forma simples? Uma técnica padrão é forçar
a ser menor que
(ou outro número conveniente). Se escolhermos
e tivermos
, então em particular
. A partir disso:
Somando
em todas as partes obtemos
logo
Portanto, sempre que
teremos
.
Passo 5
Usando esse limite em
, obtemos, quando
,
Para garantir
basta então exigir
Passo 6
Combinação final para
. Devemos garantir simultaneamente as duas coisas que usamos:
(para controlar
) e
(para garantir o erro). Portanto uma escolha segura é
Agora substituímos o valor numérico
:
Logo
Passo 7
Verificação final rápida: se
então, em particular,
e portanto
. Assim
Portanto a escolha
funciona.