Calcular \delta, se:
\varepsilon=0,01.
Dado que |x^{2}-4|<\varepsilon

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
  • \varepsilon = 0,01.
  • A condição desejada é |x^{2}-4|<\varepsilon.
O que o problema pede:
  • Encontrar um \delta>0 tal que, sempre que |x-2|<\delta, seja garantido que |x^{2}-4|<\varepsilon.

Passo 2

Explicação da estratégia (sem ainda calcular): para controlar |x^{2}-4| em função de |x-2| vamos fatorar o polinômio. A ideia típica é escrever |x^{2}-4| como produto envolvendo |x-2| e então limitar o outro fator por uma constante, escolhendo \delta pequeno. Isso transforma a condição |x^{2}-4|<\varepsilon em uma condição simples sobre |x-2|.

Passo 3

Fatoração e propriedade dos módulos. Usamos que |ab|=|a||b| e que x^{2}-4=(x-2)(x+2). Assim
|x^{2}-4| = |x-2|\,|x+2|.
Portanto, para controlar |x^{2}-4| basta controlar |x-2| e obter um limite superior para |x+2|.

Passo 4

Como limitar |x+2| de forma simples? Uma técnica padrão é forçar |x-2| a ser menor que 1 (ou outro número conveniente). Se escolhermos \delta\le 1 e tivermos |x-2|<\delta, então em particular |x-2|<1. A partir disso:
-1 < x-2 < 1 \quad\Rightarrow\quad 1 < x < 3.
Somando 2 em todas as partes obtemos
3 < x+2 < 5,
logo
|x+2| < 5.
Portanto, sempre que |x-2|<1 teremos |x+2|<5.

Passo 5

Usando esse limite em |x^{2}-4|=|x-2|\,|x+2|, obtemos, quando |x-2|<1,
|x^{2}-4| < 5\,|x-2|.
Para garantir |x^{2}-4|<\varepsilon basta então exigir
5\,|x-2| < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad |x-2| < \frac{\varepsilon}{5}.

Passo 6

Combinação final para \delta. Devemos garantir simultaneamente as duas coisas que usamos: |x-2|<1 (para controlar |x+2|) e |x-2|<\varepsilon/5 (para garantir o erro). Portanto uma escolha segura é
\delta = \min\!\left(1,\; \frac{\varepsilon}{5}\right).
Agora substituímos o valor numérico \varepsilon = 0,01:
\frac{\varepsilon}{5} = \frac{0,01}{5} = 0,002.
Logo
\delta = \min(1,\,0,002) = 0,002.

Passo 7

Verificação final rápida: se |x-2|<\delta=0,002 então, em particular, |x-2|<1 e portanto |x+2|<5. Assim
|x^{2}-4| = |x-2|\,|x+2| < 5\cdot |x-2| < 5\cdot 0,002 = 0,01 = \varepsilon.
Portanto a escolha \delta=0,002 funciona.

Resposta

\delta=0,002

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