Achar os restos das seguintes divisões:
\quad 7^{35} por 51

Passo 1

O enunciado pede: achar o resto da divisão de 7^{35} por 51.
Informações dadas e relevantes: o número base é 7, o expoente é 35 e o divisor (módulo) é 51. Queremos encontrar o inteiro r tal que, quando dividimos 7^{35} por 51, o resto seja r com 0\le r\le 50.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teorema de Euler (redução de expoente módulo \varphi(n)). Raciocínio: quando a base e o módulo são primos entre si (isto é, têm máximo divisor comum igual a 1), o teorema de Euler permite reduzir expoentes grandes usando \varphi(n). Isso normalmente torna o cálculo manual bem simples. Depois faço uma checagem alternativa via congruências modulares menores (método chinês) para confirmar o resultado.

Passo 3

Verificar se podemos aplicar Euler: calcular \gcd(7,51). Como 51=3\cdot17 e 7 não é múltiplo de 3 nem de 17, segue que
\gcd(7,51)=1.
Portanto podemos aplicar o teorema de Euler.

Passo 4

Lembrete do teorema de Euler e definição de \varphi: o teorema de Euler diz que, se \gcd(a,n)=1, então
a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n},
onde \varphi(n) é a função totiente de Euler — ela conta quantos inteiros entre 1 e n são coprimos com n.
Calcular \varphi(51). Como 51=3\cdot17 com 3 e 17 primos distintos, usa-se a fórmula multiplicativa:
\varphi(51)=51\left(1-\tfrac{1}{3}\right)\left(1-\tfrac{1}{17}\right).
Faço as contas passo a passo:
51\left(1-\tfrac{1}{3}\right)=51\cdot\tfrac{2}{3}=34,
34\left(1-\tfrac{1}{17}\right)=34\cdot\tfrac{16}{17}=(34/17)\cdot 16=2\cdot 16=32.
Logo
\varphi(51)=32.

Passo 5

Aplicar Euler para reduzir o expoente: como \varphi(51)=32 e \gcd(7,51)=1, temos
7^{32}\equiv 1 \pmod{51}.
Escrevo 35=32+3, então
7^{35}=7^{32}\cdot 7^{3}\equiv 1\cdot 7^{3}\equiv 7^{3}\pmod{51}.
Assim basta calcular 7^{3} e reduzir módulo 51.

Passo 6

Calcular 7^{3} e reduzir:
7^{3}=343.
Agora reduzimos 343 módulo 51. Multiplicando 51 por 6 51\cdot 6=306. Subtraindo,
343-306=37.
Portanto
7^{35}\equiv 37 \pmod{51},
ou seja, o resto da divisão é 37.

Passo 7

Cheque rápido por congruências modulares (controle): verificação separada por módulos primos 3 e 17.
7\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow 7^{35}\equiv 1^{35}\equiv 1\pmod{3}.
7^{16}\equiv 1\pmod{17}\\ (\text{pequeno teorema de Fermat}),\\ \text{logo }7^{35}=7^{2\cdot16+3}\equiv 7^{3}\pmod{17}.
Calcular 7^{3}=343 e reduzir em módulo 17: 17\cdot 20=340, então 343\equiv 3\pmod{17}. Assim buscamos x tal que x\equiv 1\pmod{3} e x\equiv 3\pmod{17}; x=37 satisfaz ambos, confirmando o resultado anterior.

Resposta

37

Exercícios relacionados