Quantos e quais elementos em
são congruentes módulo 12 ao inteiro 8008? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas: “Quantos” e “quais” elementos do conjunto
são congruentes módulo
ao inteiro
. As informações relevantes que temos são: o inteiro alvo
, o módulo
e o conjunto possível de representantes
. A resolução começa a partir dessas três informações.
Passo 2
Definição importante (explicação didática): dizemos que dois inteiros
e
são congruentes módulo
— escrevemos
— quando
divide a diferença
. Em símbolos:
Outra maneira prática de ver isso é:
e
deixam o mesmo resto quando divididos por
. Por exemplo, se
ao ser dividido por
dá resto
, então todo número congruente a
módulo
também tem resto
na divisão por
. Então, para achar quais elementos de
são congruentes a
, basta encontrar o resto de
na divisão por
.
Passo 3
Vamos calcular o resto de
quando dividido por
fazendo a divisão inteira. Multiplicando:
Subtraindo de
obtemos o resto:
Portanto
ou seja
(Método alternativo — didático) Outra forma de ver por que
é observar que
deve ser divisível por
. Como
e
, basta mostrar que
é divisível por
e por
. Para
: os dois últimos dígitos de
são
, e
é múltiplo de
, logo
é divisível por
. Para
: a soma dos dígitos de
é
, e
é múltiplo de
, logo
é divisível por
. Assim
é divisível por
, confirmando que o resto é
.
Passo 4
Agora, entre os elementos do conjunto
, aqueles que são congruentes a
são exatamente os que têm resto
na divisão por
. Entre
só o número
tem resto
. Para justificar que só pode haver um elemento no intervalo
: se
e
estão em
e
, então
. Mas
, então a única possibilidade é
, isto é,
. Assim o representante do resto
em
é único.
Passo 5
Conclusão didática e motivacional: encontramos o resto de
na divisão por
e mostramos que entre os
possíveis resíduos
a
apenas o número
representa essa classe de congruência. Boa — você já sabe o procedimento para qualquer outro número: calcular o resto na divisão pelo módulo e escolher o representante no intervalo de
a
.