Quantos e quais elementos em \{0,1,2, \cdots, 11\} são congruentes módulo 12 ao inteiro 8008? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas: “Quantos” e “quais” elementos do conjunto \{0,1,2,\ldots,11\} são congruentes módulo 12 ao inteiro \,8008. As informações relevantes que temos são: o inteiro alvo \,8008, o módulo \,12 e o conjunto possível de representantes \{0,1,2,\ldots,11\}. A resolução começa a partir dessas três informações.

Passo 2

Definição importante (explicação didática): dizemos que dois inteiros a e b são congruentes módulo n — escrevemos a\equiv b\pmod{n} — quando n divide a diferença a-b. Em símbolos:
a\equiv b\pmod{n}\quad\Longleftrightarrow\quad n\mid(a-b).
Outra maneira prática de ver isso é: a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n. Por exemplo, se a ao ser dividido por n dá resto r, então todo número congruente a a módulo n também tem resto r na divisão por n. Então, para achar quais elementos de \{0,\dots,11\} são congruentes a 8008\pmod{12}, basta encontrar o resto de 8008 na divisão por 12.

Passo 3

Vamos calcular o resto de \,8008 quando dividido por \,12 fazendo a divisão inteira. Multiplicando:
12\cdot 667 = 8004.
Subtraindo de 8008 obtemos o resto:
8008-8004=4.
Portanto
8008 = 12\cdot 667 + 4,
ou seja
8008\equiv 4\pmod{12}.
(Método alternativo — didático) Outra forma de ver por que 8008\equiv 4\pmod{12} é observar que 8008-4=8004 deve ser divisível por 12. Como 12=3\cdot 4 e \gcd(3,4)=1, basta mostrar que 8004 é divisível por 3 e por 4. Para 4: os dois últimos dígitos de 8004 são 04, e 04 é múltiplo de 4, logo 8004 é divisível por 4. Para 3: a soma dos dígitos de 8004 é 8+0+0+4=12, e 12 é múltiplo de 3, logo 8004 é divisível por 3. Assim 8004 é divisível por 12, confirmando que o resto é 4.

Passo 4

Agora, entre os elementos do conjunto \{0,1,2,\ldots,11\}, aqueles que são congruentes a 8008\pmod{12} são exatamente os que têm resto 4 na divisão por 12. Entre 0,1,\dots,11 só o número 4 tem resto 4. Para justificar que só pode haver um elemento no intervalo [0,11]: se x e y estão em \{0,\dots,11\} e x\equiv y\pmod{12}, então 12\mid(x-y). Mas |x-y|\le 11, então a única possibilidade é x-y=0, isto é, x=y. Assim o representante do resto 4 em \{0,\dots,11\} é único.

Passo 5

Conclusão didática e motivacional: encontramos o resto de 8008 na divisão por 12 e mostramos que entre os 12 possíveis resíduos 0 a 11 apenas o número 4 representa essa classe de congruência. Boa — você já sabe o procedimento para qualquer outro número: calcular o resto na divisão pelo módulo e escolher o representante no intervalo de 0 a n-1.

Resposta

1
\{4\}

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