Achar os valores mínimo e máximo de:
f(x)=x^44-x^33-2 x^2+3 ;-2 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede os valores mínimo e máximo de
f(x)=x^44-x^33-2x^2+3
no intervalo fechado [-2,3]. Como temos um intervalo fechado e contínuo, pelo Teorema do Valor Extremo basta calcular os pontos críticos (onde f'(x)=0) e as extremidades x=-2 e x=3, e depois comparar os valores de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^44r)-ddxl(x^33r)-ddx(2x^2)+0 =x^3-x^2-4x
Para achar os pontos críticos, resolvemos
x^3-x^2-4x=0 ;Longrightarrow; x,(x^2-x-4)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=1pmraiz1+162=1pmraiz172
Todos esses estão em [-2,3]:
x=-1,5616, 0 e 2,5616.

Passo 3

Agora avaliamos f em cada ponto relevante:
  1. Em x=-2:
f(-2)=(-2)^44-(-2)^33-2cdot(-2)^2+3 =4+83-8+3 =53approx1,667
  1. Em x=3:
f(3)=3^44-3^33-2cdot3^2+3 =20,25-9-18+3 =-3,75
  1. Em x=0:
f(0)=0-0-0+3=3
  1. Em x=1-raiz172approx -1,5616:
fl(-1,5616r)approx0,88
  1. Em x=1+raiz172approx2,5616:
fl(2,5616r)approx-4,966

Passo 4

Comparando todos os valores:
f(-2)approx1,667, ; fl(tfrac1-raiz172r)approx0,88, ; f(0)=3, ; fl(tfrac1+raiz172r)approx-4,966, ; f(3)=-3,75
O maior é 3 em x=0 e o menor é aproximadamente -4,966 em x=tfrac1+raiz172.

Resposta

Valor máximo: f(0)=3.
Valor mínimo: fl(tfrac1+raiz172r)approx-4,966.

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