Resolva os seguintes sistemas de eequação através do método de decomposição LU e através do método de eliminação de Gauss
l x1+2 x2+x3=6 2 x1+x2+x3=14 2 x1+2 x2+x3=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x1+2x2+x3=6, 2x1+x2+x3=14, 2x1+2x2+x3=6
usando dois métodos: decomposição LU e eliminação de Gauss. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes A e o vetor b, e em seguida aplicar cada técnica.

Passo 2

Para a decomposição LU (método de Doolittle) definimos
A = 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 2 & 2 & 1 , b = 6146
Calculamos os multiplicadores
ell21 = 21=2, ell31 = 21=2
e zeramos abaixo de a11, obtendo a primeira forma de U. Depois calculamos
ell32 = u32u22 = -2-3 = tfrac23
para zerar abaixo de u22. No fim obtemos
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 2 & tfrac23 & 1 , U = 1 & 2 & 1 0 & -3 & -1 0 & 0 & -tfrac13

Passo 3

Resolvendo Ly=b por substituição direta:
y1=6,
2,y1+y2=14implies y2=14-2cdot6=2,
2,y1+tfrac23y2+y3=6implies y3=6-12-tfrac43=-tfrac223.
Agora resolvemos U x = y por retro-substituição:
-tfrac13x3=-tfrac223implies x3=22,
-3x2-x3=2implies -3x2-22=2implies x2=-8,
x1+2x2+x3=6implies x1-16+22=6implies x1=0.

Passo 4

Pela eliminação de Gauss direta, partindo de
subtraímos linha 1 de linha 2 e de linha 3, ficando
Em seguida subtraímos de linha 2 de linha 3, obtendo

Passo 5

Ainda pela eliminação de Gauss, fazemos retro-substituição:
-tfrac13x3=-tfrac223implies x3=22,
-3x2-x3=2implies x2=-8,
x1+2x2+x3=6implies x1=0.

Resposta

(x1,x2,x3)=(0,,-8,,22)

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