Considere o sistema linear:
ccc 2 x1+5 x2+3 x3 & = & 8 5 x1+2 x2+x3 & = & 7 x1+3 x2+6 x3 & = & 13
Trabalhando com arredendamento para dois dígitos significativos em todas as operações:
(a) resolva o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial;
(b) faça uma iteração para refinar a solução obtida no item (a) e então calcule o vetor resíduo. O que você pode concluir?

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o sistema
2x1 + 5x2 + 3x3 = 8, 5x1 + 2x2 + x3 = 7, x1 + 3x2 + 6x3 =13
pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, arredondando todas as operações a dois dígitos significativos. Depois, faz-se uma iteração de refinamento (iterative refinement) e calcula-se o vetor resíduo r=b-Ax.

Passo 2

Começamos escolhendo o maior pivô na coluna ( ), trocando a linha com a . Obtém-se
O pivô é . Calculamos
e eliminamos:
linha linha linha
linha linha linha
Todos os coeficientes arredondados a dois dígitos significativos.]

Passo 3

Agora na submatriz inferior escolhemos pivô na coluna 2: | 4.2|>| 2.6|, não há troca. O pivô é p2=4.2 e
m32=2.64.2=0.62
Eliminamos na linha 3:
(0,;0,;5.8-0.62cdot2.6mid12-0.62cdot5.2) =(0,;0,;4.2mid8.8)

Passo 4

Fica a matriz triangular
U= 5 &2 &1 [3pt] 0 &4.2 &2.6 0 &0 &4.2 , b'=75.28.8
Substituição regressiva, sempre arredondando a dois dígitos:
x3=8.84.2=2.1, x2=5.2-2.6cdot2.14.2=5.2-5.54.2=-0.071, x1=7-2cdot(-0.071)-1cdot2.15=1.0
Portanto a solução aproximada é
x^(0)=(1.0,;-0.071,;2.1)^T ]

Passo 5

Para refinar, calculamos o resíduo inicial
r^(0)=b-A,x^(0)approx 0.0550.042-0.39
e resolvemos A,de<a x=r^(0) usando os mesmos fatores L e U. Faz-se
L,y=r^(0);longrightarrow; y1=0.055,; y2=0.042-0.40cdot0.055=0.020,; y3=-0.39-0.20cdot0.055-0.62cdot0.020=-0.41,
depois
U,de<a x=y;longrightarrow; de<a x3=-0.414.2=-0.098,; de<a x2=0.020-2.6(-0.098)4.2=0.064,; de<a x1=0.055-2cdot0.064-1cdot(-0.098)5=0.005

Passo 6

Atualizamos
x^(1)=x^(0)+de<a xapprox(1.005,;-0.007,;2.002)^T
e calculamos o novo resíduo
r^(1)=b-A,x^(1)approx 0.019-0.0130.004

Passo 7

O resíduo diminuiu de ordem 10^-1 para ordem 10^-2, mostrando que a iteração de refinamento melhorou a precisão da solução aproximada.

Resposta

(a) Pela eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e arredondamento a dois dígitos,
x^(0)=(1.0,;-0.071,;2.1)^T
(b) Após uma iteração de refinamento obtém-se
x^(1)approx(1.005,;-0.007,;2.002)^T,
com vetor resíduo
r^(1)approx(0.019,;-0.013,;0.004)^T
Conclui-se que o refinamento reduz substancialmente o resíduo, melhorando a solução.

Exercícios relacionados