Determine os possíveis valores de a para os quais a equação
Passo 1
Estamos com a equação cúbica
em que
é um parâmetro real. O objetivo é determinar para quais valores de
essa equação possui três raízes reais (distintas ou múltiplas).
Passo 2
Para uma equação cúbica
o discriminante
dá informação sobre o número e a natureza das raízes reais:
- Se
, existem três raízes reais distintas. - Se
, há pelo menos uma raiz múltipla (e todas as raízes são reais). - Se
, há uma raiz real e duas complexas conjugadas.
Passo 3
No nosso caso, identificamos
A fórmula do discriminante é
Substituindo, obtemos
Fazendo as contas:
Colocando em forma fatorada:
Passo 4
Analisando o sinal de
:
-
quando , ou seja, Nessa faixa, há três raízes reais distintas. -
se ou , isto é, Aqui temos pelo menos uma raiz dupla (as três raízes ainda são reais). -
quando ou , e então surge apenas uma raiz real e duas complexas.
Resposta
Os valores de
para os quais a equação tem três raízes reais distintas são
Para
ou
há uma raiz dupla (todas reais). Para
ou
aparece só uma raiz real.