Determine os possíveis valores de a para os quais a equação
x^3+3 x^2-9 x+a=0

Passo 1

Estamos com a equação cúbica
x^3+3x^2-9x+a=0
em que a é um parâmetro real. O objetivo é determinar para quais valores de a essa equação possui três raízes reais (distintas ou múltiplas).

Passo 2

Para uma equação cúbica
x^3+b x^2+c x+d=0
o discriminante De<a dá informação sobre o número e a natureza das raízes reais:
  • Se De<a>0, existem três raízes reais distintas.
  • Se De<a=0, há pelo menos uma raiz múltipla (e todas as raízes são reais).
  • Se De<a<0, há uma raiz real e duas complexas conjugadas.

Passo 3

No nosso caso, identificamos
b=3, c=-9, d=a
A fórmula do discriminante é
De<a = b^2c^2 -4c^3 -4b^3d -27d^2 +18,b,c,d
Substituindo, obtemos
De<a = 3^2cdot(-9)^2 ;-;4cdot(-9)^3;-;4cdot3^3a;-;27a^2;+;18cdot3cdot(-9),a
Fazendo as contas:
De<a =729 +2916 -108a -27a^2 -486a =3645 -594a -27a^2
Colocando em forma fatorada:
De<a = -27l(a^2+22a-135r) =-27,(a-5),(a+27)

Passo 4

Analisando o sinal de De<a:
  • De<a>0 quando -(a-5)(a+27)>0, ou seja, (a-5)(a+27)<0 Longrightarrow -27<a<5 Nessa faixa, há três raízes reais distintas.
  • De<a=0 se a-5=0 ou a+27=0, isto é, a=5ou a=-27 Aqui temos pelo menos uma raiz dupla (as três raízes ainda são reais).
  • De<a<0 quando a< -27 ou a>5, e então surge apenas uma raiz real e duas complexas.

Resposta

Os valores de a para os quais a equação tem três raízes reais distintas são
-27 < a < 5
Para a=5 ou a=-27 há uma raiz dupla (todas reais). Para a< -27 ou a>5 aparece só uma raiz real.

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