Ache aproximadamente os valores dos zeros de
nos intervalos
e
com precisão de 0.0005 , utilizando os métodos vistos em sala de aula (bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: aproximar os zeros da função
nos intervalos , e com precisão (ou seja, erro absoluto menor que ). - Informações úteis que extraí do enunciado (valores nas extremidades — peguei estes números do enunciado):
- Para
: . . Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo. - Para
: . . Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo. - Para
: . . Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo.
- Para
- Critério de parada que vou usar para todos os métodos numéricos: parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfaça
(isso garante a precisão pedida). Onde for método de bissecção, uso largura do intervalo (equivalente a erro de bissecção ).
Passo 2
Bissecção (explicação didática curta e aplicação em
).
- Ideia do método (aula rápida e sem jargão): se
e têm sinais opostos, existe uma raiz em (teorema do valor intermédio). Bissecção pega o ponto médio , testa e substitui o intervalo pelo subintervalo que mantém mudança de sinal. Repete até o intervalo ser suficientemente pequeno. É estável e sempre converge (mas não é o mais rápido). - Fórmula do ponto médio:
. - Critério de parada para nossa precisão: parar quando
(pois então o erro no ponto médio é ).
Aplicação em
. Vou listar iterações (cada linha:
) até o critério:
-
(negativo) → raiz em . -
(negativo) → . -
(positivo) → . -
(negativo) → . -
(negativo) → . -
(positivo) → . -
(positivo) → . -
(positivo) → . -
(negativo) → . -
(positivo) → intervalo de largura ainda maior que mas após a 10ª iteração já reduzimos bastante. Fazendo mais uma iteração chega-se a largura que é . Portanto, após 11 iterações a largura é .
Resumo prático: depois de 11 bissecções o intervalo final (por exemplo) é
e o ponto médio é
mas é comum escolher o ponto médio da última iteração. Para garantir um valor central bem dentro do intervalo e para comparar com outros métodos, tomo como aproximação por bissecção
que já está dentro da tolerância
(diferença para o zero real será menor que
).
Passo 3
Posição falsa / Regula falsi (explicação e aplicação rápida em
).
- Ideia do método: é outra técnica de intervalo fechado. Em vez do ponto médio, escolhe-se o zero da reta que passa pelos pontos
e , isto é, a interseção com o eixo da corda que une as extremidades. Fórmula:
- Vantagem: costuma convergir mais rápido que bissecção quando a função é razoavelmente bem comportada; desvantagem: às vezes “gruda” numa extremidade se a função estiver desigual.
Aplicação (algumas iterações até vermos convergência rápida):
-
.
Compute
(positivo) → substitui-se
.
2. Agora .
2. Agora
com
→ atualiza
.
3. Próxima iteração dá com
negativo/pequeno, e próximas iterações rapidamente aproximam-se de
.
3. Próxima iteração dá
Comentário final: a posição falsa converge mais rápido que a bissecção neste caso; após poucas iterações já se obtém uma aproximação que coincide com a da bissecção/Número de Newton dentro da precisão pedida. Tomando a sequência até cumprir
obtém-se
compatível com o resultado da bissecção.
Passo 4
Ponto fixo (explicação e aplicação em
).
- Ideia do método: escrevemos a equação
na forma e aplicamos iterações . Se for contrátil (i.e. no intervalo), a iteração converge para a raiz. - Reescrever
como
Defino
. Derivada
. No intervalo
tem-se
, então é contrátil — bom sinal: o método converge.
Aplicação com iterações (escolho
como chute inicial; paro quando
):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Observe as diferenças:
Já em
a diferença é menor que
. Portanto a iteração já atinge a precisão pedida; uma aproximação boa é
Passo 5
Newton-Raphson (explicação e aplicação em
para comparação e em
para referência rápida).
- Ideia: linearizar
em torno de e achar a interseção da tangente com o eixo . Iteração:
onde
.
- Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) se o chute inicial estiver razoavelmente próximo e
.
Aplicação em
(chute
):
-
. Calcular (cálculo aproximado) e . -
. - Em uma ou duas iterações chega-se a
(mesmo valor encontrado por ponto-fixo), com muito rapidamente.
Aplicação em
(para comparação e referência): começando
chega-se em poucas iterações a
(veja Passo 7 para secante, que dá resultado semelhante). Newton é rápido mas exige cálculo de
.
Passo 6
Secante (explicação e aplicação em
).
- Ideia do método: aproxima Newton sem usar derivada, usando dois chutes
e aproximando pela diferença quociente. Fórmula:
- É um método de ordem ~1,62 (mais rápido que métodos lineares como bissecção em muitos casos), e não precisa de
.
Aplicação em
com
:
-
. -
. - Calcule
. -
. -
. -
(próximo). -
. -
(diferença ainda maior que , então mais uma iteração). - Próxima iteração traz
e .
Portanto a solução pelo método da secante atinge (após algumas iterações) a aproximação
dentro da precisão exigida.
Passo 7
Resumo das aproximações obtidas por cada método e verificação rápida.
- Em
: bissecção e posição-falsa deram a raiz aproximada
e posição-falsa converge para um valor muito próximo (por exemplo
), ambos dentro de
.
- Em
: ponto-fixo (com ) e Newton convergem ambos para
com
em poucas iterações.
- Em
: secante (e Newton) convergem para
com a diferença entre iterações menor que
.
Comentários motivacionais: tranquilo — apesar de parecer muita técnica, todos os métodos cooperaram e deram o mesmo conjunto de raízes (duas iterações de Newton/secante já aproximam muito bem; bissecção é a “âncora” segura).