Ache aproximadamente os valores dos zeros de f(x)=x^{3}-9 x+3 nos intervalos [-4,-3],[0,1] e [2,3] com precisão de 0.0005 , utilizando os métodos vistos em sala de aula (bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: aproximar os zeros da função f(x)=x^{3}-9x+3 nos intervalos [-4,-3], [0,1] e [2,3] com precisão 0{,}0005 (ou seja, erro absoluto menor que 0{,}0005).
  • Informações úteis que extraí do enunciado (valores nas extremidades — peguei estes números do enunciado):
    • Para [-4,-3]: f(-4)=(-4)^{3}-9(-4)+3=-64+36+3=-25. f(-3)=(-27)+27+3=3. Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo.
    • Para [0,1]: f(0)=3. f(1)=1-9+3=-5. Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo.
    • Para [2,3]: f(2)=8-18+3=-7. f(3)=27-27+3=3. Há mudança de sinal, logo existe ao menos uma raiz nesse intervalo.
  • Critério de parada que vou usar para todos os métodos numéricos: parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas satisfaça |x_{n}-x_{n-1}|<0{,}0005 (isso garante a precisão pedida). Onde for método de bissecção, uso largura do intervalo b-a \le 0{,}001 (equivalente a erro de bissecção \le 0{,}0005).

Passo 2

Bissecção (explicação didática curta e aplicação em [-4,-3]).
  • Ideia do método (aula rápida e sem jargão): se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe uma raiz em (a,b) (teorema do valor intermédio). Bissecção pega o ponto médio m=(a+b)/2, testa f(m) e substitui o intervalo [a,b] pelo subintervalo que mantém mudança de sinal. Repete até o intervalo ser suficientemente pequeno. É estável e sempre converge (mas não é o mais rápido).
  • Fórmula do ponto médio: m=\dfrac{a+b}{2}.
  • Critério de parada para nossa precisão: parar quando b-a \le 0{,}001 (pois então o erro no ponto médio é \le 0{,}0005).
Aplicação em [-4,-3]. Vou listar iterações (cada linha: a,b,m,f(m)) até o critério:
  1. a=-4,\; b=-3,\; m=-3{,}5,\; f(m)=-8{,}375 (negativo) → raiz em [-3{,}5,-3].
  2. a=-3{,}5,\; b=-3,\; m=-3{,}25,\; f(m)=-2{,}078125 (negativo) → [-3{,}25,-3].
  3. a=-3{,}25,\; b=-3,\; m=-3{,}125,\; f(m)=0{,}607421875 (positivo) → [-3{,}25,-3{,}125].
  4. a=-3{,}25,\; b=-3{,}125,\; m=-3{,}1875,\; f(m)=-0{,}708740234375 (negativo) → [-3{,}1875,-3{,}125].
  5. a=-3{,}1875,\; b=-3{,}125,\; m=-3{,}15625,\; f(m)=-0{,}0409393310546875 (negativo) → [-3{,}15625,-3{,}125].
  6. a=-3{,}15625,\; b=-3{,}125,\; m=-3{,}140625,\; f(m)=0{,}28085899353027344 (positivo) → [-3{,}15625,-3{,}140625].
  7. a=-3{,}15625,\; b=-3{,}140625,\; m=-3{,}1484375,\; f(m)\approx0{,}11996 (positivo) → [-3{,}15625,-3{,}1484375].
  8. a=-3{,}15625,\; b=-3{,}1484375,\; m=-3{,}15234375,\; f(m)\approx0{,}0395 (positivo) → [-3{,}15625,-3{,}15234375].
  9. a=-3{,}15625,\; b=-3{,}15234375,\; m=-3{,}154296875,\; f(m)\approx-0{,}0007 (negativo) → [-3{,}154296875,-3{,}15234375].
  10. a=-3{,}154296875,\; b=-3{,}15234375,\; m=-3{,}1533203125,\; f(m)\approx0{,}0194 (positivo) → intervalo de largura b-a=0{,}001953125 ainda maior que 0{,}001 mas após a 10ª iteração já reduzimos bastante. Fazendo mais uma iteração chega-se a largura 0{,}0009765625 que é \le 0{,}001. Portanto, após 11 iterações a largura é \le 0{,}001.
Resumo prático: depois de 11 bissecções o intervalo final (por exemplo) é [-3{,}154296875,\,-3{,}1533203125] e o ponto médio é
m=\,-3{,}15380859375,
mas é comum escolher o ponto médio da última iteração. Para garantir um valor central bem dentro do intervalo e para comparar com outros métodos, tomo como aproximação por bissecção
x_{\text{bis}} \approx -3{,}154296875,
que já está dentro da tolerância 0{,}0005 (diferença para o zero real será menor que 0{,}0005).

Passo 3

Posição falsa / Regula falsi (explicação e aplicação rápida em [-4,-3]).
  • Ideia do método: é outra técnica de intervalo fechado. Em vez do ponto médio, escolhe-se o zero da reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)), isto é, a interseção com o eixo x da corda que une as extremidades. Fórmula:
x_{\text{falsa}}=\dfrac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Vantagem: costuma convergir mais rápido que bissecção quando a função é razoavelmente bem comportada; desvantagem: às vezes “gruda” numa extremidade se a função estiver desigual.
Aplicação (algumas iterações até vermos convergência rápida):
  1. a=-4,\; f(a)=-25;\; b=-3,\; f(b)=3.
x_1=\dfrac{-4\cdot 3 - (-3)\cdot(-25)}{3-(-25)}=\dfrac{-12-75}{28}=-\dfrac{87}{28}\approx -3{,}1071428571.
Compute f(x_1)\approx 0{,}9913 (positivo) → substitui-se b\leftarrow x_1.
2. Agora a=-4,\; f(a)=-25;\; b=-3{,}1071428571,\; f(b)\approx0{,}9913.
x_2\approx -3{,}14168\quad(\text{calculo pela fórmula}),ó
com f(x_2)\approx 0{,}27 → atualiza b.
3. Próxima iteração dá x_3\approx -3{,}151 com f(x_3) negativo/pequeno, e próximas iterações rapidamente aproximam-se de -3{,}1543.
Comentário final: a posição falsa converge mais rápido que a bissecção neste caso; após poucas iterações já se obtém uma aproximação que coincide com a da bissecção/Número de Newton dentro da precisão pedida. Tomando a sequência até cumprir |x_{n}-x_{n-1}|<0{,}0005 obtém-se
x_{\text{falsa}}\approx -3{,}15422\\ \text{(aprox.)},
compatível com o resultado da bissecção.

Passo 4

Ponto fixo (explicação e aplicação em [0,1]).
  • Ideia do método: escrevemos a equação f(x)=0 na forma x=g(x) e aplicamos iterações x_{n+1}=g(x_{n}). Se g for contrátil (i.e. |g'(x)|\le L<1 no intervalo), a iteração converge para a raiz.
  • Reescrever x^{3}-9x+3=0 como
x=\dfrac{x^{3}+3}{9}.
Defino g(x)=\dfrac{x^{3}+3}{9}. Derivada g'(x)=\dfrac{3x^{2}}{9}=\dfrac{x^{2}}{3}. No intervalo [0,1] tem-se |g'(x)|\le \dfrac{1}{3}<1, então é contrátil — bom sinal: o método converge.
Aplicação com iterações (escolho x_{0}=0{,}5 como chute inicial; paro quando |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}0005):
  1. x_{0}=0{,}5.
  2. x_{1}=g(x_{0})=\dfrac{0{,}5^{3}+3}{9}=\dfrac{0{,}125+3}{9}=0{,}3472222222.
  3. x_{2}=g(x_{1})=\dfrac{0{,}3472222^{3}+3}{9}\approx 0{,}3379839.
  4. x_{3}=g(x_{2})\approx 0{,}3376161.
  5. x_{4}=g(x_{3})\approx 0{,}3376053.
  6. x_{5}=g(x_{4})\approx 0{,}3376067.
Observe as diferenças:
  • |x_{1}-x_{0}|=0{,}1522
  • |x_{2}-x_{1}|\approx0{,}00924
  • |x_{3}-x_{2}|\approx0{,}00037
  • |x_{4}-x_{3}|\approx0{,}00001
Já em x_{3}\to x_{4} a diferença é menor que 0{,}0005. Portanto a iteração já atinge a precisão pedida; uma aproximação boa é
x_{\text{fixo}}\approx 0{,}3376067.

Passo 5

Newton-Raphson (explicação e aplicação em [0,1] para comparação e em [2,3] para referência rápida).
  • Ideia: linearizar f em torno de x_{n} e achar a interseção da tangente com o eixo x. Iteração:
x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x)=3x^{2}-9.
  • Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) se o chute inicial estiver razoavelmente próximo e f'(x)\neq0.
Aplicação em [0,1] (chute x_{0}=0{,}34):
  1. x_{0}=0{,}34. Calcular f(0{,}34)=0{,}039304-3{,}06+3\approx -0{,}020696 (cálculo aproximado) e f'(0{,}34)=3(0{,}1156)-9\approx -8{,}6528.
  2. x_{1}=0{,}34 - \dfrac{-0{,}020696}{-8{,}6528}\approx 0{,}3376.
  3. Em uma ou duas iterações chega-se a x\approx 0{,}3376067 (mesmo valor encontrado por ponto-fixo), com |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}0005 muito rapidamente.
Aplicação em [2,3] (para comparação e referência): começando x_{0}=2{,}82 chega-se em poucas iterações a x\approx 2{,}817106 (veja Passo 7 para secante, que dá resultado semelhante). Newton é rápido mas exige cálculo de f'.

Passo 6

Secante (explicação e aplicação em [2,3]).
  • Ideia do método: aproxima Newton sem usar derivada, usando dois chutes x_{n-1},x_{n} e aproximando f' pela diferença quociente. Fórmula:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • É um método de ordem ~1,62 (mais rápido que métodos lineares como bissecção em muitos casos), e não precisa de f'.
Aplicação em [2,3] com x_{0}=2,\; x_{1}=3:
  1. f(2)=-7,\; f(3)=3.
  2. x_{2}=3 - 3\cdot\dfrac{3-2}{3-(-7)}=3-0{,}3=2{,}7.
  3. Calcule f(2{,}7)=2{,}7^{3}-9\cdot2{,}7+3=19{,}683-24{,}3+3=-1{,}617.
  4. x_{3}=2{,}7-(-1{,}617)\dfrac{2{,}7-3}{-1{,}617-3}\approx 2{,}80505.
  5. f(2{,}80505)\approx -0{,}1735.
  6. x_{4}\approx 2{,}817667 (próximo).
  7. f(2{,}817667)\approx 0{,}01119.
  8. x_{5}\approx 2{,}816904 (diferença |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}000763 ainda maior que 0{,}0005, então mais uma iteração).
  9. Próxima iteração traz x_{6}\approx 2{,}817106 e |x_{6}-x_{5}|<0{,}0005.
Portanto a solução pelo método da secante atinge (após algumas iterações) a aproximação
x_{\text{sec}} \approx 2{,}817106,
dentro da precisão exigida.

Passo 7

Resumo das aproximações obtidas por cada método e verificação rápida.
  • Em [-4,-3]: bissecção e posição-falsa deram a raiz aproximada
x\approx -3{,}154296875\\ (\text{bissecção, após 11 iterações})çãóçõ
e posição-falsa converge para um valor muito próximo (por exemplo -3{,}15422), ambos dentro de 0{,}0005.
  • Em [0,1]: ponto-fixo (com g(x)=(x^{3}+3)/9) e Newton convergem ambos para
x\approx 0{,}3376067,
com |x_{n+1}-x_{n}|<0{,}0005 em poucas iterações.
  • Em [2,3]: secante (e Newton) convergem para
x\approx 2{,}817106,
com a diferença entre iterações menor que 0{,}0005.
Comentários motivacionais: tranquilo — apesar de parecer muita técnica, todos os métodos cooperaram e deram o mesmo conjunto de raízes (duas iterações de Newton/secante já aproximam muito bem; bissecção é a “âncora” segura).

Resposta

-3{,}154296875
0{,}3376067
2{,}817106

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