Há um limite de integração em x que depende de y, dado por \displaystyle \frac{y+7}{\sqrt{\frac{7+5 y^{2}}{3}}}.
O que o enunciado pede:
Inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a integral numa forma \displaystyle \int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\!\left[\int_{y_{\text{inf}}(x)}^{y_{\text{sup}}(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.
Observação importante: na escrita dada há apenas um limite dependente de y dentro da integral em x. Está ausente o outro limite (superior ou inferior) da integral interna em x. Sem esse segundo limite a região de integração no plano (x,y) não está completamente especificada.
Passo 2
Por que isso impede inverter a ordem de integração?
Para inverter a ordem de integração é preciso conhecer a região de integração
D=\{(x,y)\mid y\in[-1,2],\\ a(y)\le x\le b(y)\},
ou seja, é necessário saber ambas as curvas x=a(y) e x=b(y) (ou um limite fixo) que delimitam D. Com apenas um limite x=a(y) e sem o outro b(y) (ou sem sabermos se o integral em x vai até um número fixo ou até alguma outra função), não é possível determinar:
o intervalo total de x (x_{\min},x_{\max});
para cada x, quais são os valores de y que pertencem a D.
Portanto, com a informação fornecida a inversão da ordem NÃO PODE ser feita de forma completa e única.
Passo 3
Vou simplificar a expressão do limite que foi dado — isso ajuda caso se queira completar o enunciado posteriormente.
Se alguém fornecesse o outro limite em x (digamos x=b(y) ou um número constante), o procedimento padrão para inverter a ordem seria:
Identificar a região D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\\ a(y)\le x\le b(y)\}.
Determinar o intervalo de x percorrido por D: x_{\min}=\min_{y\in[-1,2]} a(y) e x_{\max}=\max_{y\in[-1,2]} b(y) (ou, mais geralmente, o envelope das duas curvas).
Para cada x entre x_{\min} e x_{\max}, encontrar os valores de y que satisfazem a(y)\le x\le b(y); em muitos casos isso implica resolver as equações x=a(y) e x=b(y) para y e escolher as raízes que caem em [-1,2].
onde y_{\inf}(x) e y_{\sup}(x) são as funções y obtidas no passo anterior.
Passo 5
Para ilustrar como seria resolver a fronteira x=a(y) para obter y em função de x (isto é útil quando o outro limite b(y) também fosse conhecido), faço a resolução algébrica da igualdade x=a(y).
Começamos com
x=\frac{\sqrt{3}\,(y+7)}{\sqrt{7+5y^2}}.
Elevando ao quadrado:
x^2=\frac{3(y+7)^2}{7+5y^2}.
Multiplicando:
x^2(7+5y^2)=3(y+7)^2.
Expandindo e recolhendo termos em y obtemos uma equação quadrática em y:
(5x^2-3)\,y^2 -42\,y + (7x^2-147)=0.
Para cada x essa equação fornece, via fórmula quadrática, as possíveis y que satisfazem x=a(y):
y=\frac{42\pm\sqrt{\Delta}}{2(5x^2-3)},
onde o discriminante \Delta é
\Delta = (-42)^2 -4(5x^2-3)(7x^2-147).
Fazendo as contas (com cuidado) chega-se a uma forma muito simples para \Delta:
A existência de raízes reais exige \Delta\ge 0, i.e. x=0 ou x^2\le 108/5.
Se 5x^2-3=0 (ou seja x=\pm\sqrt{3/5}) a equação degenera para uma equação linear em y; esse caso precisa ser tratado à parte.
Depois de obter explicitamente as raízes, deve-se escolher, para cada x, o segmento de y que fica dentro de [-1,2] e que corresponde à região original (isto é, entre as curvas adequadas).
Passo 6
Conclusão prática e o que falta para terminar:
Com a informação atual a integral está incompleta: falta o outro limite da integral interna em x. Sem esse limite não há como determinar unicamente a região D e, portanto, não há como escrever a integral com a ordem trocada de forma correta.
Se o outro limite for fornecido (por exemplo um número constante ou uma outra função b(y)), seguiria-se o procedimento explicado (achar intervalo de x, resolver x=a(y) e x=b(y) para y, escolher os ramos adequados em [-1,2] e montar \int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\int_{y_{\inf}(x)}^{y_{\sup}(x)}\cdots).
Se quiser, eu já resolvi a curva x=a(y) e mostrei como obter y em função de x; assim, se você me passar (ou confirmar) qual é o outro limite de x que deveria aparecer na integral interna, eu consigo imediatamente montar a integral com a ordem invertida passo a passo.
Resposta
Não é possível inverter a ordem de integração porque falta o outro limite de integração em x (somente aparece um limite dependente de y); a região de integração no plano (x,y) não está totalmente especificada.