Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{3 a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3} x}^{\sqrt{4 a x-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x(a>0).

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{3a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{\sqrt{4ax-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx,\qquad (a>0).
Informações dadas:
  • O integrando é uma função genérica f(x,y).
  • A variável externa x varia em [0,3a].
  • Para cada x fixo, a variável y varia de y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x (reta) até y=\sqrt{4ax-x^{2}} (ramo superior de um círculo).
  • Está implícito que a região de integração é o conjunto de pontos (x,y) tais que
0\le x\le 3a,\qquad \frac{\sqrt{3}}{3}x\le y\le \sqrt{4ax-x^{2}}.

Passo 2

Vamos entender as curvas que delimitam a região de integração (isto é, descrever geometricamente a região D no plano xy).
  • A reta inferior é
y=\frac{\sqrt{3}}{3}x.
  • A curva superior satisfaz
y=\sqrt{4ax-x^{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}=4ax-x^{2},
ou seja
x^{2}+y^{2}=4ax.
Essa última equação representa um círculo cujo centro e raio podemos obter completando quadrado:
x^{2}-4ax+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad (x-2a)^{2}+y^{2}=(2a)^{2}.
Portanto é o círculo de centro (2a,0) e raio 2a; o ramo y=\sqrt{4ax-x^{2}} é a semi-circunferência superior desse círculo.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre a reta e a semicircunferência (esses pontos determinam limites importantes):
igualando
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)^{2}+x^{2}=4ax
temos
\frac{1}{3}x^{2}+x^{2}=4ax\quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{3}x^{2}=4ax.
Dividindo por 4 e reorganizando:
\frac{1}{3}x^{2}=a x\quad\Longrightarrow\quad x\Big(\frac{1}{3}x-a\Big)=0.
Logo x=0 ou x=3a. Os pontos de interseção são:
  • para x=0: y=0;
  • para x=3a: y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3a=\sqrt{3}\,a.
    Assim a reta e a semicircunferência se encontram exatamente em (0,0) e (3a,\sqrt{3}a).

Passo 4

Determinar a variação total de y na região D.
  • O menor valor de y na região é 0 (em (0,0)).
  • O maior valor de y possível na semicircunferência é o topo do círculo, em x=2a, onde y_{\max}=2a.
    Portanto os possíveis valores de y que aparecem na região vão de y=0 até y=2a, isto é 0\le y\le 2a.

Passo 5

Para inverter a ordem de integração precisamos, para cada y fixo, achar o intervalo de x tal que (x,y)\in D. As duas desigualdades que definem D são
\frac{\sqrt{3}}{3}x\le y\quad\text{e}\quad y\le \sqrt{4ax-x^{2}}.
  • A primeira dá
x\le \sqrt{3}\,y.
  • A segunda é equivalente a
x^{2}-4ax+y^{2}\le 0,
cuja equação quadrática associada x^{2}-4ax+y^{2}=0 tem raízes
x=2a\pm\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.
Portanto a condição y\le\sqrt{4ax-x^{2}} impõe
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Agora combinamos as condições para obter o intervalo final de x para cada y. Também lembramos que originalmente x estava restrito a 0\le x\le 3a. Há dois regimes naturais para y:
  • Para 0\le y\le \sqrt{3}\,a: neste caso \sqrt{3}\,y\le 3a (pois em y=\sqrt{3}a \sqrt{3}y=3a). Além disso, para esses y tem-se 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\ge 3a (por exemplo em y=0 a raiz direita é 4a). Assim o limite superior imposto pela reta, que é x\le \sqrt{3}\,y, é o que efetivamente corta a faixa das raízes do círculo. O limite inferior é sempre a raiz esquerda do círculo x=2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}} (essa raiz é não negativa para 0\le y\le 2a). Portanto, para 0\le y\le \sqrt{3}\,a temos
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le \sqrt{3}\,y.
  • Para \sqrt{3}\,a\le y\le 2a: neste intervalo \sqrt{3}\,y\ge 3a e a restrição x\le\sqrt{3}\,y deixa de ser a mais restritiva; o intervalo de x fica dado pelas duas raízes do círculo, ambas menores ou iguais a 3a nesse intervalo. Assim, para \sqrt{3}\,a\le y\le 2a temos
2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}\le x\le 2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}.

Passo 7

Escrever a integral com a ordem invertida juntando os dois casos (soma de duas integrais em y):
\int_{0}^{3a}\left[\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{\sqrt{4ax-x^{2}}} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{\sqrt{3}a}^{2a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{3}a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,\sqrt{3}\,y} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{\sqrt{3}a}^{2a}\left[\int_{\,2a-\sqrt{4a^{2}-y^{2}}}^{\,2a+\sqrt{4a^{2}-y^{2}}} f(x,y)\,dx\right]dy

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