Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- O integrando é uma função genérica
. - A variável externa
varia em . - Para cada
fixo, a variável varia de (reta) até (ramo superior de um círculo). - Está implícito que a região de integração é o conjunto de pontos
tais que
Passo 2
Vamos entender as curvas que delimitam a região de integração (isto é, descrever geometricamente a região
no plano
).
- A reta inferior é
- A curva superior satisfaz
ou seja
Essa última equação representa um círculo cujo centro e raio podemos obter completando quadrado:
Portanto é o círculo de centro
e raio
; o ramo
é a semi-circunferência superior desse círculo.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre a reta e a semicircunferência (esses pontos determinam limites importantes):
igualando
igualando
temos
Dividindo por
e reorganizando:
Logo
ou
. Os pontos de interseção são:
- para
: ; - para
: .
Assim a reta e a semicircunferência se encontram exatamente eme .
Passo 4
Determinar a variação total de
na região
.
- O menor valor de
na região é (em ). - O maior valor de
possível na semicircunferência é o topo do círculo, em , onde .
Portanto os possíveis valores deque aparecem na região vão de até , isto é .
Passo 5
Para inverter a ordem de integração precisamos, para cada
fixo, achar o intervalo de
tal que
. As duas desigualdades que definem
são
- A primeira dá
- A segunda é equivalente a
cuja equação quadrática associada
tem raízes
Portanto a condição
impõe
Passo 6
Agora combinamos as condições para obter o intervalo final de
para cada
. Também lembramos que originalmente
estava restrito a
. Há dois regimes naturais para
:
- Para
: neste caso (pois em dá ). Além disso, para esses tem-se (por exemplo em a raiz direita é ). Assim o limite superior imposto pela reta, que é , é o que efetivamente corta a faixa das raízes do círculo. O limite inferior é sempre a raiz esquerda do círculo (essa raiz é não negativa para ). Portanto, para temos
- Para
: neste intervalo e a restrição deixa de ser a mais restritiva; o intervalo de fica dado pelas duas raízes do círculo, ambas menores ou iguais a nesse intervalo. Assim, para temos
Passo 7
Escrever a integral com a ordem invertida juntando os dois casos (soma de duas integrais em
):