Seja
que tem um zero em
.
Calcule, usando o Método da Secante, uma aproximação para este zero tomando
onde
.
Calcule, usando o Método da Secante, uma aproximação para este zero tomando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma aproximação do zero em
usando explicitamente o Método da Secante, com critério de parada
Informações fornecidas:
- A função é
. - Há um zero em
. - Devemos aplicar o Método da Secante e parar quando
.
Não há outras condições nem valores iniciais obrigatórios além do intervalo; portanto usaremos como aproximações iniciais os extremose .
Passo 2
O que é o Método da Secante e qual fórmula usar (explicação didática):
- A secante aproxima a curva
por uma reta que passa pelos pontos e ; a interseção dessa reta com o eixo é a próxima aproximação . - A fórmula do método da secante é
- Explicando cada símbolo:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores da função nesses pontos. - O quociente
é a inclinação recíproca da reta secante; multiplicando por deslocamos até a interseção da reta secante com o eixo .
-
- Procedimento prático na prova:
- Escolher
e (aqui 1 e 2). - Calcular
e . - Aplicar a fórmula para obter
. - Repetir usando os dois últimos pontos até que
.
- Escolher
Passo 3
Preparação: calcular
nos pontos iniciais.
- Calcular
: - Calcular
:
Assim temos
e
.
Passo 4
Cálculo de
com a fórmula da secante (mostrando passo a passo):
Substituindo números:
Fazendo a divisão:
logo
Passo 5
Calcular
. Para
com
não inteiro, uma forma prática sem calculadora é usar expansão de Taylor até termos pequenos: para
pequeno,
. Aqui usei isso para
quando conveniente; apresento o valor aproximado usado.
-
. Então
Assim
Passo 6
Cálculo de
usando os dois últimos pontos
e
:
Substituindo:
É mais estável numericamente usar a forma equivalente
Substituindo e calculando (mostrando os intermediários):
Passo 7
Calcular
:
Passo 8
Cálculo de
usando
e
(novamente usando a forma estável):
Substituindo valores aproximados:
Passo 9
Calcular
:
Passo 10
Cálculo de
usando
e
:
Substituindo:
Diferença com o passo anterior:
, logo continuar.
Passo 11
Calcular
:
Passo 12
Cálculo de
usando
e
:
Substituindo:
Diferença
.
Passo 13
Calcular
:
Passo 14
Cálculo de
usando
e
:
Substituindo:
Diferença
.
Passo 15
Calcular
:
Passo 16
Cálculo de
usando
e
:
Substituindo:
Agora a diferença entre os dois últimos termos é
ou seja, satisfaz o critério de parada pedido.
Passo 17
Interpretação final: a primeira iteração
que satisfaz
foi
. Tomamos como aproximação do zero
.