Seja f(x)=e^{x}-3 x que tem um zero em [1,2].
Calcule, usando o Método da Secante, uma aproximação para este zero tomando \bar{x}=x_{n} onde \left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede uma aproximação do zero em [1,2] usando explicitamente o Método da Secante, com critério de parada
\left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2}.
Informações fornecidas:
  • A função é \;f(x)=e^{x}-3x.
  • Há um zero em [1,2].
  • Devemos aplicar o Método da Secante e parar quando \left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2}.
    Não há outras condições nem valores iniciais obrigatórios além do intervalo; portanto usaremos como aproximações iniciais os extremos x_{0}=1 e x_{1}=2.

Passo 2

O que é o Método da Secante e qual fórmula usar (explicação didática):
  • A secante aproxima a curva y=f(x) por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)); a interseção dessa reta com o eixo x é a próxima aproximação x_{n+1}.
  • A fórmula do método da secante é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Explicando cada símbolo:
    • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos.
    • O quociente \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})} é a inclinação recíproca da reta secante; multiplicando por f(x_n) deslocamos x_n até a interseção da reta secante com o eixo x.
  • Procedimento prático na prova:
    1. Escolher x_0 e x_1 (aqui 1 e 2).
    2. Calcular f(x_0) e f(x_1).
    3. Aplicar a fórmula para obter x_2.
    4. Repetir usando os dois últimos pontos até que \left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2}.

Passo 3

Preparação: calcular f nos pontos iniciais.
  • Calcular f(1): f(1)=e^{1}-3\cdot1=e-3\approx 2,718281828-3=-0,281718172.
  • Calcular f(2): f(2)=e^{2}-3\cdot2\approx 7,389056099-6=1,389056099.
Assim temos x_{0}=1,\;f(x_{0})\approx-0,281718172 e x_{1}=2,\;f(x_{1})\approx1,389056099.

Passo 4

Cálculo de x_{2} com a fórmula da secante (mostrando passo a passo):
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo números:
x_{2}=2-1,389056099\cdot\frac{2-1}{1,389056099-(-0,281718172)} =2-\frac{1,389056099}{1,670774271}.
Fazendo a divisão:
\frac{1,389056099}{1,670774271}\approx0,831384762,
logo
x_{2}\approx2-0,831384762=1,168615238.

Passo 5

Calcular f(x_{2}). Para e^{x} com x não inteiro, uma forma prática sem calculadora é usar expansão de Taylor até termos pequenos: para t pequeno, e^{t}\approx1+t+\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{3}}{6}+\tfrac{t^{4}}{24}. Aqui usei isso para t=x_{2}-1 quando conveniente; apresento o valor aproximado usado.
  • x_{2}\approx1,168615238. Então
e^{1,168615238}=e\cdot e^{0,168615238}\approx2,718281828\cdot1,18366136\approx3,21752636.
Assim
f(x_{2})\approx3,21752636-3\cdot1,168615238 =3,21752636-3,505845714=-0,288319354.

Passo 6

Cálculo de x_{3} usando os dois últimos pontos x_{1}=2 e x_{2}:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
x_{3}=1,168615238-(-0,288319354)\cdot\frac{1,168615238-2}{-0,288319354-1,389056099}.
É mais estável numericamente usar a forma equivalente
x_{3}=\frac{x_{1}f(x_{2})-x_{2}f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo e calculando (mostrando os intermediários):
\text{numerador}=2\cdot(-0,288319354)-1,168615238\cdot1,389056099\approx-0,576638708-1,623271000\approx-2,199909708,
\text{denominador}=-0,288319354-1,389056099=-1,677375453,
x_{3}\approx\frac{-2,199909708}{-1,677375453}\approx1,311438.

Passo 7

Calcular f(x_{3}):
e^{1,311438}\approx e\cdot e^{0,311438}\approx2,718281828\cdot1,365362\approx3,711452,
f(x_{3})\approx3,711452-3\cdot1,311438=3,711452-3,934314=-0,222862.

Passo 8

Cálculo de x_{4} usando x_{2} e x_{3} (novamente usando a forma estável):
x_{4}=\frac{x_{2}f(x_{3})-x_{3}f(x_{2})}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo valores aproximados:
\text{numerador}=1,168615238\cdot(-0,222862)-1,311438\cdot(-0,288319354)\approx-0,260438+0,378108\approx0,117670,
\text{denominador}=-0,222862-(-0,288319354)=0,065457,
x_{4}\approx\frac{0,117670}{0,065457}\approx1,797707.

Passo 9

Calcular f(x_{4}):
e^{1,797707}\approx2,718281828\cdot e^{0,797707}\approx2,718281828\cdot2,220391\approx6,034626,
f(x_{4})\approx6,034626-3\cdot1,797707=6,034626-5,393121=0,641505.

Passo 10

Cálculo de x_{5} usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=\frac{x_{3}f(x_{4})-x_{4}f(x_{3})}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo:
\text{numerador}=1,311438\cdot0,641505-1,797707\cdot(-0,222862)\approx0,840974+0,400640\approx1,241614,
\text{denominador}=0,641505-(-0,222862)=0,864367,
x_{5}\approx\frac{1,241614}{0,864367}\approx1,436505.
Diferença com o passo anterior: |x_{5}-x_{4}|\approx|1,436505-1,797707|=0,361202>0,01, logo continuar.

Passo 11

Calcular f(x_{5}):
e^{1,436505}\approx2,718281828\cdot e^{0,436505}\approx2,718281828\cdot1,54719\approx4,205704,
f(x_{5})\approx4,205704-3\cdot1,436505=4,205704-4,309515=-0,103811.

Passo 12

Cálculo de x_{6} usando x_{4} e x_{5}:
x_{6}=\frac{x_{4}f(x_{5})-x_{5}f(x_{4})}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Substituindo:
\text{numerador}=1,797707\cdot(-0,103811)-1,436505\cdot0,641505\approx-0,186140-0,921161\approx-1,107301,
\text{denominador}=-0,103811-0,641505=-0,745316,
x_{6}\approx\frac{-1,107301}{-0,745316}\approx1,485500.
Diferença |x_{6}-x_{5}|\approx|1,485500-1,436505|=0,048995>0,01.

Passo 13

Calcular f(x_{6}):
e^{1,485500}\approx2,718281828\cdot e^{0,485500}\approx2,718281828\cdot1,62472\approx4,416430,
f(x_{6})\approx4,416430-3\cdot1,485500=4,416430-4,456500=-0,040070.

Passo 14

Cálculo de x_{7} usando x_{5} e x_{6}:
x_{7}=\frac{x_{5}f(x_{6})-x_{6}f(x_{5})}{f(x_{6})-f(x_{5})}.
Substituindo:
\text{numerador}=1,436505\cdot(-0,040070)-1,485500\cdot(-0,103811)\approx-0,057460+0,154209\approx0,096749,
\text{denominador}=-0,040070-(-0,103811)=0,063741,
x_{7}\approx\frac{0,096749}{0,063741}\approx1,518700.
Diferença |x_{7}-x_{6}|\approx0,033200>0,01.

Passo 15

Calcular f(x_{7}):
e^{1,518700}\approx2,718281828\cdot e^{0,518700}\approx2,718281828\cdot1,67953\approx4,565300,
f(x_{7})\approx4,565300-3\cdot1,518700=4,565300-4,556100=0,009200.

Passo 16

Cálculo de x_{8} usando x_{6} e x_{7}:
x_{8}=\frac{x_{6}f(x_{7})-x_{7}f(x_{6})}{f(x_{7})-f(x_{6})}.
Substituindo:
\text{numerador}=1,485500\cdot0,009200-1,518700\cdot(-0,040070)\approx0,013668+0,060750\approx0,074418,
\text{denominador}=0,009200-(-0,040070)=0,049270,
x_{8}\approx\frac{0,074418}{0,049270}\approx1,510600.
Agora a diferença entre os dois últimos termos é
|x_{8}-x_{7}|\approx|1,510600-1,518700|=0,008100<10^{-2},
ou seja, satisfaz o critério de parada pedido.

Passo 17

Interpretação final: a primeira iteração x_{n} que satisfaz \left|x_{n}-x_{n-1}\right|<10^{-2} foi x_{8}. Tomamos como aproximação do zero \bar{x}=x_{8}\approx1,510600.

Resposta

\bar{x}\approx1,5106

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