Ache as descontinuidades das seguintes funções (se existirem):

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando é o seguinte: a gente tem uma função definida em pedaços
f(x)= 4 - x, & x >= 3, x - 2, & 0 < x < 3, x - 1, & x <= 0
O assunto é “continuidade de funções” e, mais especificamente, “descontinuidades em funções definidas por partes”. Para resolver a parada, a gente vai usar:
  1. O conceito de limite (o que é limxto a f(x)).
  2. A definição de continuidade num ponto a: é quando limxto af(x) = f(a).
  3. Que polinômios (tipo ax+b) são contínuos em todo lugar.
  4. Então, só precisamos checar o que acontece nos pontos de ‘troca de regra’, ou seja, em x=0 e em x=3.

Passo 2

Primeira coisa: em cada trecho isolado (para x<0, 0 e x>3), as funções são polinômios ( 4-x, x-2, x-1). Polinômio é contínuo onde tá definido, então não tem problema dentro desses intervalos. Logo, as únicas suspeitas de descontinuidade são nos pontos onde a fórmula muda: x=0 e x=3.

Passo 3

Vamos checar em x=3:
  1. Valor da função: como 3>=3, usamos f(3)=4-3=1.
  2. Limite pela esquerda ( xto 3^-): aí 0, logo f(x)=x-2. Então limxto3^-f(x)=limxto3^-(x-2)=3-2=1
    3. Limite pela direita ( xto3^+): para x>3, f(x)=4-x, então
    limxto3^+f(x)=limxto3^+(4-x)=4-3=1
Como limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=1=f(3), a função é contínua em x=3.

Passo 4

Agora em x=0:
  1. Valor da função: como 0<=0, usamos f(0)=0-1=-1.
  2. Limite pela esquerda ( xto0^-): para x<0, f(x)=x-1. Então limxto0^-f(x)=limxto0^-(x-1)=0-1=-1
    3. Limite pela direita ( xto0^+): para 0, f(x)=x-2. Então
    limxto0^+f(x)=limxto0^+(x-2)=0-2=-2
Aqui limxto0^-f(x)=-1neq -2=limxto0^+f(x), então o limite não existe em 0. Como nem sequer os limites laterais coincidem, já dá descontinuidade em x=0.

Resposta

A única descontinuidade de f(x) ocorre em x = 0.

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