Ache as descontinuidades das seguintes funções (se existirem):
Passo 1
Beleza, aqui o que tá rolando é o seguinte: a gente tem uma função definida em pedaços
O assunto é “continuidade de funções” e, mais especificamente, “descontinuidades em funções definidas por partes”. Para resolver a parada, a gente vai usar:
O conceito de limite (o que é limxto a f(x)).
A definição de continuidade num ponto a: é quando limxto af(x) = f(a).
Que polinômios (tipo ax+b) são contínuos em todo lugar.
Então, só precisamos checar o que acontece nos pontos de ‘troca de regra’, ou seja, em x=0 e em x=3.
Passo 2
Primeira coisa: em cada trecho isolado (para x<0, 0 e x>3), as funções são polinômios (4-x, x-2, x-1). Polinômio é contínuo onde tá definido, então não tem problema dentro desses intervalos. Logo, as únicas suspeitas de descontinuidade são nos pontos onde a fórmula muda: x=0 e x=3.
Passo 3
Vamos checar em x=3:
Valor da função: como 3>=3, usamos f(3)=4-3=1.
Limite pela esquerda (xto 3^-): aí 0, logo f(x)=x-2. Entãolimxto3^-f(x)=limxto3^-(x-2)=3-2=1
3. Limite pela direita (xto3^+): para x>3, f(x)=4-x, então limxto3^+f(x)=limxto3^+(4-x)=4-3=1
Como limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=1=f(3), a função é contínua em x=3.
Passo 4
Agora em x=0:
Valor da função: como 0<=0, usamos f(0)=0-1=-1.
Limite pela esquerda (xto0^-): para x<0, f(x)=x-1. Entãolimxto0^-f(x)=limxto0^-(x-1)=0-1=-1
3. Limite pela direita (xto0^+): para 0, f(x)=x-2. Então limxto0^+f(x)=limxto0^+(x-2)=0-2=-2
Aqui limxto0^-f(x)=-1neq -2=limxto0^+f(x), então o limite não existe em 0. Como nem sequer os limites laterais coincidem, já dá descontinuidade em x=0.