Ache a inclinação da reta normal em x=0, para as curvas definidas pelas seguintes funções:
f(x)=sen^1 / 3 x

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer achar a inclinação da reta normal à curva em f(x) = l(sen xr)^1/3 , onde a curva é dada por
Isso envolve derivada (pra achar a inclinação da tangente) e depois a relação entre reta tangente e reta normal (a normal tem inclinação igual ao negativo do inverso da tangente).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada h(x) = sen x, g(u)=u^1/3 .
A gente tem uma composição de “potência” com “seno”, ou seja, f'(x) = g'(h(x))cdot h'(x) com
Pela regra da cadeia:
f'(x) = 13,( sen x )^-2/3;cos x
Aqui e .
Então

Passo 3

Agora avaliamos f'(0) = 13,(0)^-2/3cdot 1 .

  • Substituindo:
Mas “explode” para infinito (ou seja, não é um número finito), então a derivada não existe de forma finita em . Isso significa que a reta tangente ali é vertical.

Passo 4

Se a reta tangente é vertical, sua inclinação é “infinita”. A reta normal é perpendicular à tangente, e a perpendicular a uma vertical é uma linha horizontal. Reta horizontal tem inclinação zero.

Resposta

A inclinação da reta normal em é .

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