Ache uma fórmula fechada para cada uma das somas:
2+4+\cdots+2^{n}

Passo 1

O enunciado pede a soma dos termos
2 + 4 + \cdots + 2^n
Esse é um caso clássico de progressão geométrica, em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 2. Para resolver, vamos usar a fórmula geral da soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Em toda progressão geométrica com primeiro termo a, razão r\neq1 e n termos, vale
\sum_{k=0}^{n-1}a\,r^k \;=\; a\,\frac{r^n-1}{r-1}.
Aqui, porém, nossos termos são 2^1,2^2,\dots,2^n. Podemos ajustar a fórmula configurando a=2 e contando de k=1 até k=n.

Passo 3

Escrevendo
\sum_{k=1}^{n}2^k
vemos que isso é igual a
\sum_{k=0}^{n-1}2\cdot2^k \;=\; 2\sum_{k=0}^{n-1}2^k \;=\; 2\cdot\frac{2^n-1}{2-1} \;=\; 2\bigl(2^n-1\bigr).
Simplificando,
2\bigl(2^n-1\bigr) =\;2^{n+1}-2.

Resposta

2 + 4 + \cdots + 2^n = 2^{n+1} - 2.

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