Mostre, por indução, a validade das seguintes fórmulas:
1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que vale a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão x:
1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}.
O conteúdo aqui é o Princípio da Indução Matemática: verificar a base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
o lado esquerdo é
1
e o lado direito é
\frac{x^{0+1}-1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.
Portanto, a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\ge0, se tem
1 + x + x^{2} + \cdots + x^{k} = \frac{x^{k+1} - 1}{x - 1}.

Passo 4

Passo indutivo ( k\to k+1): adicionamos x^{k+1} aos dois lados da hipótese, obtendo
1 + x + \cdots + x^{k} + x^{k+1} = \frac{x^{k+1} - 1}{x - 1} + x^{k+1}.
Para somar as frações, escrevemos
\frac{x^{k+1} - 1}{x - 1} + x^{k+1} = \frac{x^{k+1} - 1 + x^{k+1}(x-1)}{x - 1} = \frac{x^{k+1} - 1 + x^{k+2} - x^{k+1}}{x - 1} = \frac{x^{k+2} - 1}{x - 1}.
Isso mostra que a fórmula vale para n=k+1.

Resposta

Para todo n\ge0 vale
1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} = \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}.

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