Mostre, por indução, a validade das seguintes fórmulas:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que vale a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão
:
O conteúdo aqui é o Princípio da Indução Matemática: verificar a base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução (
):
o lado esquerdo é
o lado esquerdo é
e o lado direito é
Portanto, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, se tem
Passo 4
Passo indutivo (
): adicionamos
aos dois lados da hipótese, obtendo
Para somar as frações, escrevemos
Isso mostra que a fórmula vale para
.
Resposta
Para todo
vale