Ache a inclinação da reta normal em x=0, para as curvas definidas pelas seguintes funções:

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “Ache a inclinação da reta normal em f(x)= -x, & x<0, 0, & x=0, x, & x>0 ” para a função
Estamos vendo conteúdo de derivada (pra achar a reta tangente) e depois o conceito de reta normal (que é perpendicular à tangente). Para resolver vamos precisar:
  1. Calcular a derivada de em usando limite lateral,
  2. Verificar se essa derivada existe,
  3. Se existir, usar a fórmula da inclinação da normal:

Passo 2

Vamos recordar o que é derivada no ponto f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h :
Mas, quando a função é “diferente” à esquerda e à direita, a gente faz dois limites separados: um para (à esquerda) e outro para (à direita). Só se esses dois resultados forem iguais (= derivada existe), a gente segue.

Passo 3

Derivada lateral à esquerda ( f'(0^-)=limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^-(-h)-0h =limhto0^--hh =-1 ):
Para , então usamos .

Passo 4

Derivada lateral à direita ( f'(0^+)=limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+h-0h =limhto0^+1 =1 ):
Para , então .

Passo 5

Comparando, a gente vê que e . Como , a derivada não existe. Se não existe derivada, não tem reta tangente única no ponto, e sem reta tangente não dá pra definir reta normal única.

Resposta

Não existe inclinação única para a reta normal em , pois a derivada não existe nesse ponto.

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