Ache a inclinação da reta normal em , para as curvas definidas pelas seguintes funções:
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede: “Ache a inclinação da reta normal em ” para a função
Estamos vendo conteúdo de derivada (pra achar a reta tangente) e depois o conceito de reta normal (que é perpendicular à tangente). Para resolver vamos precisar:
Calcular a derivada de em usando limite lateral,
Verificar se essa derivada existe,
Se existir, usar a fórmula da inclinação da normal:
Passo 2
Vamos recordar o que é derivada no ponto f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h :
Mas, quando a função é “diferente” à esquerda e à direita, a gente faz dois limites separados: um para (à esquerda) e outro para (à direita). Só se esses dois resultados forem iguais (= derivada existe), a gente segue.
Passo 3
Derivada lateral à esquerda ( f'(0^-)=limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^-(-h)-0h =limhto0^--hh =-1 ):
Para , então usamos .
Passo 4
Derivada lateral à direita ( f'(0^+)=limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+h-0h =limhto0^+1 =1 ):
Para , então .
Passo 5
Comparando, a gente vê que e . Como , a derivada não existe. Se não existe derivada, não tem reta tangente única no ponto, e sem reta tangente não dá pra definir reta normal única.
Resposta
Não existe inclinação única para a reta normal em , pois a derivada não existe nesse ponto.