Dada a função f(x)=x^2-3 x, ache
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
e dada a função f(x)=raiz5 x+1, ache
lim h 0 f(x+h)-f(x)h quando x>-15

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: usando a definição de derivada
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
a) pra
b) pra (com ).
Então vamos usar a diferença quociente, expandir (ou racionalizar) e mandar .

Passo 2

Primeiro, f(x+h)=(x+h)^2-3(x+h)=x^2+2xh+h^2-3x-3h, .
  1. Escreve f(x+h)-f(x)=l(x^2+2xh+h^2-3x-3hr)-l(x^2-3xr) =2xh+h^2-3h :
f(x+h)-f(x)h=2xh+h^2-3hh=2x+h-3
limhto0(2x+h-3)=2x-3
  1. Divide por :
  1. Faz :

Passo 3

Agora f(x+h)=raiz5(x+h)+1=raiz5x+5h+1, f(x+h)-f(x)=raiz5x+5h+1-raiz5x+1 .
  1. Calcula raiz5x+5h+1-raiz5x+1htimesraiz5x+5h+1+raiz5x+1 raiz5x+5h+1+raiz5x+1 =(5x+5h+1)-(5x+1)hl(raiz5x+5h+1+raiz5x+1r) :
5hhl(raiz5x+5h+1+raiz5x+1r) =5raiz5x+5h+1+raiz5x+1
  1. Forma o quociente e racionaliza (multiplica por conjugado):
limhto05raiz5x+5h+1+raiz5x+1 =52raiz5x+1
O numerador vira , então
  1. Faz :

Resposta

Para , o limite é .
Para , o limite é (para ).

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