Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Isso é um problema de Cálculo Multivariável: vamos precisar calcular derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana (segunda derivada) ou analisar direções para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem e acha onde ambas são zero (os pontos críticos).
Agora iguala a zero:
Logo, nosso único ponto crítico é
.
Passo 3
Vamos ver o que a segunda derivada diz. As derivadas de segunda ordem são:
No ponto
temos
O discriminante da Hessiana é
ou seja, o teste clássico fica inconclusivo (não diz se é mínimo, máximo ou sela).
Passo 4
Quando o teste dá
, a gente pode investigar direções específicas.
- Na direção
(isto é, fixo ):
é uma parábola que “abre para cima” com vértice em
. Aí,
é um mínimo ao longo dessa reta.
- Na direção
(isto é, fixo ):
Para
pequeno,
é positivo, então
.
Para pequeno,
é negativo, então
.
Isso mostra que em uma direção sobe e em outra desce em volta do ponto, característica de ponto de sela.
Para
Isso mostra que em uma direção sobe e em outra desce em volta do ponto, característica de ponto de sela.
Resposta
A única coisa que encontramos é um ponto de sela em
Não há máximos locais nem mínimos locais, só esse ponto de sela.