Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
f(x, y)=2 x^2+y^3-2 x

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y) ;=; 2x^2 ;+; y^3 ;-; 2x
Isso é um problema de Cálculo Multivariável: vamos precisar calcular derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana (segunda derivada) ou analisar direções para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem e acha onde ambas são zero (os pontos críticos).
fx = partialpartial x(2x^2 + y^3 - 2x) = 4x - 2,
fy = partialpartial y(2x^2 + y^3 - 2x) = 3y^2
Agora iguala a zero:
4x - 2 = 0 Longrightarrow x = tfrac12,
3y^2 = 0 Longrightarrow y = 0
Logo, nosso único ponto crítico é .

Passo 3

Vamos ver o que a segunda derivada diz. As derivadas de segunda ordem são:
fxx = 4, fyy = 6y, fxy = fyx = 0
No ponto fxx(tfrac12,0) = 4, fyy(tfrac12,0) = 0, fxy(tfrac12,0) = 0 temos
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 4cdot 0 - 0 = 0,
O discriminante da Hessiana é
ou seja, o teste clássico fica inconclusivo (não diz se é mínimo, máximo ou sela).

Passo 4

Quando o teste dá f(x,0) = 2x^2 - 2x = 2l(x^2 - xr) , a gente pode investigar direções específicas.
  1. Na direção f(tfrac12,y) = 2l(tfrac12r)^2 + y^3 -2cdottfrac12 = tfrac12 + y^3 -1 = y^3 - tfrac12 (isto é, fixo ):
é uma parábola que “abre para cima” com vértice em . Aí, é um mínimo ao longo dessa reta.
  1. Na direção (isto é, fixo ):
Para pequeno, é positivo, então .
Para pequeno, é negativo, então .
Isso mostra que em uma direção sobe e em outra desce em volta do ponto, característica de ponto de sela.

Resposta

A única coisa que encontramos é um ponto de sela em
l(x,yr) = l(tfrac12,,0r)
Não há máximos locais nem mínimos locais, só esse ponto de sela.

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