Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Isso está em cálculo multivariável: a gente vai precisar calcular derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e depois usar as segundas derivadas (Hessiano) pra classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos achar as derivadas parciais primeiras:
- Definimos
.
Explicando: pra derivar um produto
, usamos a regra do produto e lembramos que
e
.
Passo 3
Achar pontos críticos é resolver
- De
, como , temos ou ou . - De
, como , sobra , logo .
Se
, então
(porque seria
), então não dá ponto crítico.
Se , para zerar
precisa de
.
Se
Logo os únicos críticos são
Passo 4
Agora as segundas derivadas:
O discriminante da segunda derivada é
Passo 5
Vamos avaliar em cada ponto:
Para
:
-
. -
-
-
(porque tem fator ).
Então
Como
e
, esse ponto é máximo local.
Para
:
-
. - Logo
e , é mínimo local.
Não sobra nenhum outro crítico, então não há ponto de sela.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Não existem pontos de sela.
Mínimo local em
Não existem pontos de sela.