Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
f(x, y)=y e^1-y^2-x^2

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=y,e^,1 - x^2 - y^2
Isso está em cálculo multivariável: a gente vai precisar calcular derivadas parciais primeiras para achar os pontos críticos e depois usar as segundas derivadas (Hessiano) pra classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais primeiras:
  1. Definimos fx=partialpartial xl(yEr) =ycdot(-2xE)=-2xy,E, .
fy=partialpartial yl(yEr) =E + ycdot(-2yE) =E,(1-2y^2)
Explicando: pra derivar um produto , usamos a regra do produto e lembramos que e .

Passo 3

Achar pontos críticos é resolver
fx=0, fy=0
  • De (0,tfrac1raiz2) e (0,-tfrac1raiz2) , como , temos ou ou .
  • De , como , sobra , logo .
Se , então (porque seria ), então não dá ponto crítico.
Se , para zerar precisa de .
Logo os únicos críticos são

Passo 4

Agora as segundas derivadas:
fxx=partialx(-2xyE) =-2yE +(-2xy)(-2xE) =2yE,(2x^2-1),
fyy=partialyl(E(1-2y^2)r) =-2yE,(1-2y^2);+;E(-4y) =-2yE,(3-2y^2),
fxy=partialy(-2xyE) =-2xE +(-2xy)(-2yE) =2xE,(2y^2-1)
O discriminante da segunda derivada é
D = fxx,fyy - (fxy)^2

Passo 5

Vamos avaliar em cada ponto:
Para D = (-raiz2 e^tfrac12)(-2raiz2 e^tfrac12)-0 =2,e :
  • .
  • (porque tem fator ).
Então
Como e , esse ponto é máximo local.
Para :
  • .
  • Logo e , é mínimo local.
Não sobra nenhum outro crítico, então não há ponto de sela.

Resposta

Máximo local em com valor .
Mínimo local em com valor .
Não existem pontos de sela.

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