Seja g(t)=f(3 t^3, t^3, e^2 t) e suponha que partial fpartial z(0,0,1)=4.
Expresse g^prime(t) em termos ds derivadas parciais de f

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: a gente tem
g(t)=fl(3t^3,;t^3,;e^2tr)
e quer expressar em termos das derivadas parciais de .
Conteúdo: Regra da cadeia para funções de várias variáveis.
O que vamos precisar:
  • Saber o que é derivada parcial de .
  • Aplicar a regra da cadeia, que liga derivada de função composta com derivadas das “partes” internas.

Passo 2

Teoria – Derivada parcial e regra da cadeia:
Se g'(t) =partial fpartial x,x'(t) +partial fpartial y,y'(t) +partial fpartial z,z'(t), é função de três variáveis, a derivada parcial mede a variação de em relação a , mantendo e fixos.
Para uma função composta como , a regra da cadeia diz:
onde cada derivada parcial é avaliada em .

Passo 3

Vamos identificar as funções internas:
x(t)=3t^3, y(t)=t^3, z(t)=e^2t
Agora calculamos cada derivada simples:
x'(t)=ddt(3t^3)=9t^2, y'(t)=ddt(t^3)=3t^2, z'(t)=ddt(e^2t)=2e^2t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia completa:
g'(t) =partial fpartial xl(3t^3,t^3,e^2tr)cdot 9t^2 +partial fpartial yl(3t^3,t^3,e^2tr)cdot 3t^2 +partial fpartial zl(3t^3,t^3,e^2tr)cdot 2e^2t

Resposta

g'(t) =partial fpartial xl(3t^3,t^3,e^2tr),9t^2 ;+; partial fpartial yl(3t^3,t^3,e^2tr),3t^2 ;+; partial fpartial zl(3t^3,t^3,e^2tr),2e^2t

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