Seja f(x, y)=5 x y^2-4 x^3 y.
Determine a taxa de variação de f em P na direção de (5,12);

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos a função
f(x,y)=5xy^2-4x^3y
e quer a “taxa de variação” (ou derivada direcional) de f num ponto P na direção do vetor (5,12).
Conteúdo da matéria: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar:
1. Calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
2. Montar o vetor gradiente nabla f.
3. Normalizar o vetor de direção (5,12) para virar um vetor unitário.
4. Fazer produto escalar entre nabla f(P) e esse vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, derivadas parciais. Lembra que partial fpartial x é derivar f em relação a x, tratando y como constante. E partial fpartial y é o contrário.
  • partial fpartial x = partialpartial xl(5xy^2 -4x^3yr) =5,y^2 -12x^2y
  • partial fpartial y = partialpartial yl(5xy^2 -4x^3yr) =10xy -4x^3

Passo 3

Agora monta o gradiente:
nabla f(x,y) = l(,5y^2 -12x^2y,,,10xy -4x^3r)
Em um ponto genérico P=(x0,y0), fica
nabla f(P) = l(5y0^2 -12x0^2y0,;10x0y0 -4x0^3r)
O gradiente aponta na direção de maior subida de f.

Passo 4

Temos o vetor de direção v=(5,12). Mas na derivada direcional a gente usa vetor unitário:
  1. Calcula o módulo: |v|=raiz5^2+12^2=raiz25+144=13.
  2. Divide cada componente por 13:
u = v|v| = l(tfrac513,,tfrac1213r)
Esse u tem comprimento 1, garantindo que a “taxa” não fique inflada pelo tamanho do vetor.

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção u é o produto escalar
$$D_{\mathbf{u}}f§ = \nabla f§\cdot \mathbf{u}
= \bigl(5y_0^2 -12x_0^2y_0\bigr)\frac{5}{13} + \bigl(10x_0y_0 -4x_0^3\bigr)\frac{12}{13}.$$

Resposta

boxedD(5,12)f(P) ;=; 113l[,5l(5y0^2 -12x0^2y0r);+;12l(10x0y0 -4x0^3r)r]
Esse valor dá a taxa de variação de f em P=(x0,y0) indo na direção (5,12).

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