Seja
.
Determine a taxa de variação de
em P na direção de
;
Determine a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos a função
e quer a “taxa de variação” (ou derivada direcional) de
Conteúdo da matéria: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar:
1. Calcular as derivadas parciais
2. Montar o vetor gradiente
3. Normalizar o vetor de direção
4. Fazer produto escalar entre
Passo 2
Primeiro, derivadas parciais. Lembra que
é derivar
em relação a
, tratando
como constante. E
é o contrário.
Passo 3
Agora monta o gradiente:
Em um ponto genérico
O gradiente aponta na direção de maior subida de
.
Passo 4
Temos o vetor de direção
. Mas na derivada direcional a gente usa vetor unitário:
- Calcula o módulo:
. - Divide cada componente por 13:
Esse
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar
$$D_{\mathbf{u}}f§ = \nabla f§\cdot \mathbf{u}
= \bigl(5y_0^2 -12x_0^2y_0\bigr)\frac{5}{13} + \bigl(10x_0y_0 -4x_0^3\bigr)\frac{12}{13}.$$
Resposta
Esse valor dá a taxa de variação de