Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
f(x, y)=x^2+y^2+x^3

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
f(x,y)=x^2+y^2+x^3.
Matéria envolvida: derivadas parciais, gradiente e matriz Hessiana para classificar pontos críticos.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais de .
  2. Encontrar onde o gradiente – esses são os candidatos a extremos/sela.
  3. Montar a matriz Hessiana e usar o teste das segundas derivadas para ver se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2+y^2+x^3) =2x+3x^2 e fy(x,y)=partialpartial y(x^2+y^2+x^3) =2y
O gradiente é . A ideia é achar onde e .

Passo 3

Resolvendo o sistema
2x+3x^2=0, 2y=0,
da segunda equação vem logo 2x+3x^2 = x(2+3x)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=-tfrac23 .
Da primeira:
Então os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora a gente usa a matriz Hessiana, que tem as segundas derivadas:
[
H_f(x,y)=
Hf(x,y)= fxx&fxy fyx&fyy = 2+6x & 0 0 & 2

Hf(0,0)=2&00&2, det H=2cdot2-0=4>0, fxx(0,0)=2>0 .
]
O teste das segundas derivadas diz:
  • Se fxxl(-tfrac23,0r)=2+6l(-tfrac23r)=2-4=-2, fyy=2, det H=(-2)cdot2-0=-4<0 e , é mínimo local.
  • Se e , é máximo local.
  • Se , é ponto de sela.
Vamos avaliar em cada ponto:
  1. Em :
Logo é mínimo local.
  1. Em :
Determinante negativo indica ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em , sem máximos locais, e ponto de sela em .

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