Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
Matéria envolvida: derivadas parciais, gradiente e matriz Hessiana para classificar pontos críticos.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais de
. - Encontrar onde o gradiente
– esses são os candidatos a extremos/sela. - Montar a matriz Hessiana e usar o teste das segundas derivadas para ver se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais:
O gradiente é
. A ideia é achar onde
e
.
Passo 3
Resolvendo o sistema
da segunda equação vem logo
.
Da primeira:
Da primeira:
Então os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora a gente usa a matriz Hessiana, que tem as segundas derivadas:
[
H_f(x,y)=
]
O teste das segundas derivadas diz:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela.
Vamos avaliar em cada ponto:
- Em
:
Logo
é mínimo local.
- Em
:
Determinante negativo indica ponto de sela.
Resposta
Mínimo local em
, sem máximos locais, e ponto de sela em
.