Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Isso é matéria de cálculo multivariável: a gente vai precisar calcular o gradiente, igualar a zero pra achar os pontos críticos, e depois usar a matriz Hessiana (segunda derivadas) pra classificar cada um (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais (gradiente). Definindo
, temos
Para achar pontos críticos, a gente impõe
Das duas primeiras equações: ou
ou
e
. E da terceira:
Passo 3
Vamos separar em casos:
Caso A:
.
Então e
, logo
. A equação de
vira
Então
Isso dá dois pontos isolados críticos:
Caso B:
.
Então ou
.
Então
- Se
, as duas primeiras derivadas já dão zero qualquer , restando
⇒ ⇒ .
Logo temos toda a circunferência
. - Se
, a equação fica ⇒ , sem solução real.
Portanto, os pontos críticos são
-
- A curva
.
Passo 4
Classificação via Hessiana. A matriz Hessiana tem entradas
outros zero.
-
Em
:
, e
.
Todos os autovalores positivos ⇒ mínimo local. -
Em
:
de novo, mas .
Dois autovalores positivos e um negativo ⇒ ponto de sela. -
Em cada ponto da circunferência
:
, , com termos mistos não nulos.
Dá autovalores de sinais mistos ⇒ pontos de sela degenerados.
Resposta
- Mínimo local em
. - Ponto de sela em
. - Todos os
com são pontos de sela.