Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
f(x, y, z)=(x^2+y^2-z)(1-z^2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y,z) = l(x^2 + y^2 - zr),(1 - z^2);
Isso é matéria de cálculo multivariável: a gente vai precisar calcular o gradiente, igualar a zero pra achar os pontos críticos, e depois usar a matriz Hessiana (segunda derivadas) pra classificar cada um (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais (gradiente). Definindo fx = partial fpartial x = 2x,(1 - z^2),, temos
fy = 2y,(1 - z^2),
fz = partialpartial zl[(R - z)(1 - z^2)r] = -2z,(R - z) ;+; (1 - z^2)(-1) = -2zR + 3z^2 - 1;
fx = 0, fy = 0, fz = 0
Para achar pontos críticos, a gente impõe
-2zR + 3z^2 -1 = 0
Das duas primeiras equações: ou ou e . E da terceira:

Passo 3

Vamos separar em casos:
Caso A: -2zcdot 0 + 3z^2 -1 = 0 Longrightarrow 3z^2 = 1 Longrightarrow z = pm tfrac1raiz3 .
Então P1 = (0,0,tfrac1raiz3), P2 = (0,0,-tfrac1raiz3) e , logo . A equação de vira
Isso dá dois pontos isolados críticos:
Caso B: .
Então ou .
  • Se , as duas primeiras derivadas já dão zero qualquer , restando
    .
    Logo temos toda a circunferência
    .
  • Se , a equação fica , sem solução real.
Portanto, os pontos críticos são
  1. A curva .

Passo 4

Classificação via Hessiana. A matriz Hessiana tem entradas
fxx=2(1-z^2), fyy=2(1-z^2), fzz=-2R+6z, fxz=fzx=-4xz, fyz=fzy=-4yz,
outros zero.
  • Em :
    , e
    .
    Todos os autovalores positivos ⇒ mínimo local.
  • Em :
    de novo , mas .
    Dois autovalores positivos e um negativo ⇒ ponto de sela.
  • Em cada ponto da circunferência :
    , , com termos mistos não nulos.
    Dá autovalores de sinais mistos ⇒ pontos de sela degenerados.

Resposta

  • Mínimo local em .
  • Ponto de sela em .
  • Todos os com são pontos de sela.

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