Ache os reais x, que são soluções de .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Ache os reais x^23 ;+;48x^2 ;=; 10l(x3-4xr) que satisfazem
Isso envolve equações fracionárias e manipulação algébrica. Vamos precisar limpar os denominadores, reconhecer um “quadrado perfeito” e usar substituição pra facilitar, depois resolver equações do 2º grau.

Passo 2

Repara que dá pra enxergar um quadrado se a gente definir
A ;=;xraiz3;-;4raiz3x
Vou expandir A^2 =l(xraiz3-4raiz3xr)^2 =x^23+48x^2 -2cdotxraiz3cdot4raiz3x =x^23+48x^2-8 :
x^23+48x^2=A^2+8
Logo
x3-4x =13l(x-12xr) =raiz33l(xraiz3-4raiz3xr) =raiz33,A
Também note que
A^2+8 ;=; 10l(raiz33Ar) Longrightarrow A^2+8=10raiz33,A
Substituindo na equação original:

Passo 3

Multiplico por 3 pra ficar tudo “inteiro”:
3A^2 -10raiz3,A +24=0
É uma quadrática em De. O discriminante é
A=10raiz3pmraiz126 =10raiz3pm2raiz36 =raiz3(10pm2)6 =raiz3(5pm1)3
então
A1=2raiz3, A2=4raiz33
Logo os dois valores de são

Passo 4

Volto à definição xraiz3-4raiz3x =x^2-12raiz3,x = A Longrightarrow x^2 - Araiz3,x -12=0 . Reescrevo em forma de quadrática em :

Passo 5

  1. Para x^2 - (2raiz3)raiz3,x -12= x^2-6x-12=0 ;Longrightarrow; x=6pmraiz36+482=3pmraiz21 :
x^2 -l(tfrac4raiz33r)raiz3,x -12 = x^2-4x-12=0 ;Longrightarrow; x=4pmraiz16+482=4pm82 ;Longrightarrow;6,;-2
  1. Para :

Resposta

As soluções reais são
xin,3+raiz21,;3-raiz21,;6,;-2

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