Ache todos os reais x, tal que x^2+x^2(x+1)^2=3.

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Ache todos os reais x^2 ;+;x^2(x+1)^2;=;3 tais que
Isso cai em Álgebra: a gente vai precisar cuidar de domínio (não pode dividir por zero, então ), multiplicar pelo denominador , obter um polinômio, e depois fatorar/achar as raízes.

Passo 2

Primeiro, anota o domínio: l(x^2 + x^2(x+1)^2r),(x+1)^2 ;=;3,(x+1)^2 implica x^2,(x+1)^2 ;+; x^2 ;=; 3,(x+1)^2 .
Agora multiplica os dois lados da equação por :
Isso dá

Passo 3

Vamos expandir e juntar tudo em um só lado:
  1. (x^4 +2x^3 + x^2) + x^2 ;=;3x^2 +6x +3 Longrightarrow x^4 +2x^3 +2x^2 ;=;3x^2 +6x +3 .
  2. O lado direito x^4 +2x^3 +2x^2 -3x^2 -6x -3 = 0 ;;Longrightarrow;; x^4 +2x^3 -x^2 -6x -3 = 0 .
    Logo
Passando tudo pro LHS:

Passo 4

Agora a gente fatorou esse quartic. Dá pra notar que ele se divide exatamente por x^4 +2x^3 -x^2 -6x -3 ;=;(x^2 - x -1),(x^2 +3x +3) (que tem raízes x^2 - x -1 = 0 Longrightarrow x = 1pmraiz1+42 = 1pmraiz52 ). Fazendo a divisão polinomial ou testando, chega-se a:
As raízes de são complexas (discriminante ), então as únicas soluções reais vêm de
Nenhuma delas é , então não há conflito com o domínio.

Resposta

As soluções reais são
boxedx = 1+raiz52 e x = 1-raiz52

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