Seja o sistema linear abaixo:
c 4 x1+x2+x3=5 -2 x1+5 x2+x3=0 3 x1+x2+6 x3=-6,5
Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito. Justique sua resposta;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema linear de três equações em três incógnitas:
4x1 + x2 + x3 = 5, -2x1 +5x2 + x3 = 0, 3x1 + x2 +6x3 = -6,5
O conteúdo é “Métodos Iterativos” (mais precisamente o critério de Sassenfeld, usado para checar convergência do Gauss–Seidel). Para resolver, vamos precisar dos coeficientes do sistema e da definição de cada coeficiente do critério de Sassenfeld.

Passo 2

Primeiro, a teoria: o critério de Sassenfeld nos dá um conjunto de números betai ;=;1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|;betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|r) calculados assim:
Se o máximo desses for menor que 1, ou seja , então garantimos que o método de Gauss–Seidel converge para a solução.

Passo 3

Vamos anotar os coeficientes da forma padrão :
  • Equação 1: .
  • Equação 2: .
  • Equação 3: .
E os termos independentes estão em , mas só precisamos de aqui.

Passo 4

Calcular beta1 = |a12| + |a13||a11| = 1 + 14 = 24 = 0,5 . Como não há anteriores a , a fórmula vira:

Passo 5

Agora beta2 = |a21|;beta1 ;+;|a23||a22| = 2cdot 0,5 ;+;15 = 1 + 15 = 25 = 0,4 . Aqui já usamos no somatório:

Passo 6

Por fim beta3 = |a31|;beta1 ;+;|a32|;beta2|a33| = 3cdot 0,5 ;+;1cdot 0,46 = 1,5 + 0,46 = 1,96 approx 0,3167 , que usa e :

Resposta

Como
max(beta1,beta2,beta3) = max(0,5,;0,4,;0,3167) = 0,5 < 1,
o critério de Sassenfeld é satisfeito. Isso garante convergência do método de Gauss–Seidel para resolver esse sistema.

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