Determine o número de raízes reais da equação:
[
\left(x{2}+x+4\right){2}+8 x\left(x^{2}+x+4\right)+15 x^{2}=0
\left(x{2}+x+4\right){2}+8 x\left(x^{2}+x+4\right)+15 x^{2}=0
Passo 1
O enunciado manda achar quantas raízes reais tem a equação
Conteúdo: equações polinomiais e fatoração por agrupamento. Vamos usar substituição pra enxugar a conta e depois fatorar.
Passo 2
Perceba que, se definirmos
a equação vira
Isso é “quase” um quadrado, mas dá pra fatorar: a gente busca dois termos que somem
e multipliquem
. Esses termos são
e
. Logo
Passo 3
A igualdade
gera dois casos:
-
⇒ Aqui a raiztem multiplicidade 2, mas conta como uma solução real. -
⇒ Calcule o discriminante:
então duas raízes reais distintas:
Passo 4
Juntando tudo, as soluções reais são
Ou seja, há 3 valores reais de
.
Resposta
3 raízes reais.