Determine o número de raízes reais da equação:
[
\left(x{2}+x+4\right){2}+8 x\left(x^{2}+x+4\right)+15 x^{2}=0

Passo 1

O enunciado manda achar quantas raízes reais tem a equação
l(x^2+x+4r)^2+8x,(x^2+x+4)+15x^2=0
Conteúdo: equações polinomiais e fatoração por agrupamento. Vamos usar substituição pra enxugar a conta e depois fatorar.

Passo 2

Perceba que, se definirmos
u = x^2+x+4,
a equação vira
u^2 + 8x,u + 15x^2 = 0
Isso é “quase” um quadrado, mas dá pra fatorar: a gente busca dois termos que somem u^2 + 8x,u + 15x^2 = (u + 3x),(u + 5x) e multipliquem . Esses termos são e . Logo

Passo 3

A igualdade x^2 + x + 4 + 3x = 0 Longrightarrow x^2 +4x +4 =0 Longrightarrow (x+2)^2=0 Longrightarrow x=-2 gera dois casos:
  1. x^2 + x + 4 + 5x = 0 Longrightarrow x^2 +6x +4 =0 x = -6 pm raiz202 = -3 pm raiz5
    Aqui a raiz tem multiplicidade 2, mas conta como uma solução real.
  2. Calcule o discriminante:

    então duas raízes reais distintas:

Passo 4

Juntando tudo, as soluções reais são
x = -2, x = -3+raiz5, x = -3-raiz5
Ou seja, há 3 valores reais de .

Resposta

3 raízes reais.

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