Ache as seguintes derivadas,
f^prime(x) onde f(x)=1x-2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a derivada de
f(x)=1x-2,
Isso é um exercício de cálculo diferencial: a gente vai usar a regra da potência (porque dá pra reescrever como potência negativa) e a regra da cadeia (já que temos uma função dentro de outra).
O que vamos precisar:
  • Saber reescrever 1x-2 como (x-2)^-1.
  • Aplicar a regra da potência: se g(u)=u^n, então g'(u)=n,u^n-1.
  • Usar a regra da cadeia: derivada de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, transforma a fração em potência:
f(x)=1x-2=(x-2)^-1,
Fazemos isso porque a regra da potência é mais direta quando temos algo na forma u^n.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência:
Se h(u)=u^n, então h'(u)=n,u^n-1.
Aqui u=x-2 e n=-1.
Então, derivando (x-2)^-1 em relação a x, a gente faz:
  1. Desce o expoente: -1.
  2. Multiplica pela mesma base (x-2) com o expoente reduzido em 1: -1-1=-2.
  3. E ainda precisa multiplicar pela derivada interna de x-2 (regra da cadeia).

Passo 4

Regra da cadeia diz que se k(x)=h(u(x)), então
k'(x)=h'(u(x))cdot u'(x),
Aqui h(u)=u^-1 e u(x)=x-2. A derivada de u(x)=x-2 é u'(x)=1.
Juntando tudo:
f'(x) = -1,(x-2)^-2times 1 = -,(x-2)^-2,

Resposta

f'(x) = -1(x-2)^2,

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