Ache a solução para o seguinte sistema triangular inferior:
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1} & =6 \\\\ -x_{1}-3 x_{2} & =-5 \\\\ 7 x_{1}+3 x_{2}+x_{3} & =16 \\\\ -8 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4} & =-8 \\\\ -9 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}+3 x_{5} & =-3 \end{aligned}\right.

Passo 1

O problema pede a solução do sistema triangular inferior formado por cinco equações em cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}. As equações dadas são:
\begin{aligned} 3x_{1} &=6,\\\\ - x_{1}-3x_{2} &=-5,\\\\ 7x_{1}+3x_{2}+x_{3} &=16,\\\\ -8x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+2x_{4} &=-8,\\\\ -9x_{1}-2x_{2}+x_{3}+2x_{4}+3x_{5} &=-3. \end{aligned}
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • O sistema é triangular inferior: cada equação i envolve apenas x_{1},\dots,x_{i}.
  • As incógnitas a encontrar são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}.
  • Todos os termos (coeficientes e termos independentes) estão explícitos acima.

Passo 2

Entendendo o método: em sistemas triangulares inferiores usamos a substituição direta progressiva (forward substitution). A ideia geral para a i-ésima equação é:
a_{ii}x_{i} = b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j},
onde a_{ii} é o coeficiente diagonal da i-ésima equação e b_{i} é o termo independente da i-ésima equação. Assim,
x_{i} = \frac{b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}}{a_{ii}}.
Explicando cada símbolo:
  • a_{ij} é o coeficiente do j-ésimo incógnita na i-ésima equação.
  • b_{i} é o lado direito (termo independente) da i-ésima equação.
  • x_{j} são as incógnitas já calculadas para j<i.
    Observação importante: precisamos que a_{ii}\neq 0 para dividir; aqui os coeficientes diagonais são 3,\,-3,\,1,\,2,\,3, todos diferentes de zero, então o método funciona.

Passo 3

Resolver a primeira equação para x_{1}. A primeira equação é
3x_{1}=6.
Dividindo ambos os lados por 3,
x_{1}=\frac{6}{3}=2.

Passo 4

Resolver a segunda equação para x_{2}. A segunda equação é
- x_{1}-3x_{2}=-5.
Isolando o termo em x_{2},
-3x_{2}=-5 + x_{1}.
Substituindo x_{1}=2,
-3x_{2}=-5+2=-3.
Dividindo por -3,
x_{2}=\frac{-3}{-3}=1.

Passo 5

Resolver a terceira equação para x_{3}. A terceira equação é
7x_{1}+3x_{2}+x_{3}=16.
Isolando x_{3},
x_{3}=16-7x_{1}-3x_{2}.
Substituindo x_{1}=2 e x_{2}=1,
x_{3}=16-7\cdot 2-3\cdot 1=16-14-3= -1.

Passo 6

Resolver a quarta equação para x_{4}. A quarta equação é
-8x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=-8.
Isolando 2x_{4},
2x_{4}=-8+8x_{1}-4x_{2}-2x_{3},
pois movemos os termos com x_{1},x_{2},x_{3} para o lado direito com sinal trocado. Substituindo x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=-1:
2x_{4}=-8+8\cdot 2-4\cdot 1-2\cdot(-1)=-8+16-4+2=6.
Portanto
x_{4}=\frac{6}{2}=3.

Passo 7

Resolver a quinta equação para x_{5}. A quinta equação é
-9x_{1}-2x_{2}+x_{3}+2x_{4}+3x_{5}=-3.
Isolando 3x_{5},
3x_{5}=-3+9x_{1}+2x_{2}-x_{3}-2x_{4},
pois movemos os termos conhecidos para o lado direito com sinal trocado. Substituindo x_{1}=2, x_{2}=1, x_{3}=-1, x_{4}=3:
3x_{5}=-3+9\cdot 2+2\cdot 1-(-1)-2\cdot 3=-3+18+2+1-6=12.
Logo
x_{5}=\frac{12}{3}=4.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=1
x_{3}=-1
x_{4}=3
x_{5}=4

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