questāo3:Uma repersentaçāo decimal do número binário (11101, \overline{01})_{2} é dada por:
a)(23,6)_{10}
b)(29, \overline{3})_{10}
c)(23,3)_{10}
d)(29, \overline{6})_{10}
e)Năo sei
Passo 1
O enunciado dá o número binário \bigl(11101,\overline{01}\bigr)_{2} e pede a sua representação em base decimal, oferecendo alternativas. Informações relevantes que o enunciado dá:
A parte inteira em binário é \,11101_{2}.
A parte fracionária é periódica com o bloco repetido \,01 imediatamente após a vírgula binária (ou seja, não há parte fracionária não-periódica antes do período).
A pergunta é: qual das alternativas corresponde à representação decimal desse número?
Passo 2
Converter a parte inteira \,11101_{2} para decimal. Lembre que cada dígito binário vale 0 ou 1 multiplicado por potências de 2 conforme sua posição (da direita para a esquerda, potências 2^{0},2^{1},2^{2},\dots). Assim:
Agora a parte fracionária é \overline{01} em binário, isto é os dígitos após a vírgula são 0,1,0,1,0,1,\dots. Vamos escrever isso como soma infinita de potências de 2. Os bits iguais a 1 ocorrem nas posições 2,4,6,\dots após a vírgula, ou seja nos termos 2^{-2},2^{-4},2^{-6},\dots. Então a parte fracionária vale
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-2n}.
Passo 4
Identificar essa soma como uma série geométrica. Uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (com |r|<1) soma para \dfrac{a}{1-r}. Aqui o primeiro termo é a=2^{-2}=\dfrac{1}{4} e a razão é r=2^{-2}=\dfrac{1}{4}. Aplicando a fórmula:
Somando a parte inteira e a fracionária obtemos o número decimal:
29+\frac{1}{3}=29,\overline{3}\\ (\text{em base 10}).
Ou seja a representação decimal periódica é \bigl(29,\overline{3}\bigr)_{10}.
Passo 6
Método alternativo (curtinho, para decorar): o bloco repetido em binário é 01, cujo valor inteiro em binário é 1. Como o período tem comprimento 2, a fração periódica correspondente é \dfrac{1}{2^{2}-1}=\dfrac{1}{3}. Isso dá o mesmo resultado e é uma forma prática de lembrar para provas.