Ache a solução para o seguinte sistema linear, utilizando Método de Gauss:
\left\{\begin{array}{r} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear e encontrar os valores de x_{1}\), \(x_{2}\) e \(x_{3}\). As equações dadas são: \[\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1\\[4pt] x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3 \end{cases}
Não há outras condições adicionais. A solução é um triplo ((x_{1},x_{2},x_{3})] que satisfaça todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (passo-a-passo): montamos a matriz aumentada do sistema e aplicamos operações elementares nas linhas para transformar a matriz numa forma triangular superior — isso facilita resolver as incógnitas por substituição regressiva. Operações elementares permitidas (explicação pedagógica):
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um número não nulo;
  • somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. A ideia é zerar os elementos abaixo dos pivôs (os elementos líderes de cada linha) coluna por coluna.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, a última coluna é o lado direito):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 4

Para simplificar, trocamos a linha 1 com a linha 2 porque a linha 2 já tem um 1 na primeira posição, o que facilita os cálculos. Aplicando a troca R_{1}\leftrightarrow R_{2}:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Zeramos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô é 1 em R_{1}). Usamos as operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}.
Calculamos linha a linha:
  • R_{2}:\;[3,2,4,1]-3\cdot[1,1,2,2]=[3-3,\,2-3,\,4-6,\,1-6]=[0,\,-1,\,-2,\,-5].
  • R_{3}:\;[4,3,-2,3]-4\cdot[1,1,2,2]=[4-4,\,3-4,\, -2-8,\,3-8]=[0,\,-1,\,-10,\,-5].
    A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & -10 & -5 \end{array}\right]]

Passo 6

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 para facilitar: multiplicamos R_{2} por -1, ou seja R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2}. Obtém-se:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 5\\[4pt] 0 & -1 & -10 & -5 \end{array}\right]
Agora zeramos o elemento em R_{3} da segunda coluna com R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}:
Calculando R_{3}:\;[0,-1,-10,-5]+[0,1,2,5]=[0,0,-8,0].
A matriz triangular superior resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora resolvemos por substituição regressiva. A terceira linha corresponde a -8x_{3}=0. Então
-8x_{3}=0\implies x_{3}=0.
Substituímos em R_{2} que dá x_{2}+2x_{3}=5. Como x_{3}=0,
x_{2}+2\cdot 0=5\implies x_{2}=5.
Substituímos x_{2} e x_{3} em R_{1} que dá x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2. Assim,
x_{1}+5+2\cdot 0=2\implies x_{1}=2-5=-3.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(-3,5,0) nas equações originais:
  • 3(-3)+2(5)+4(0)=-9+10+0=1 (confere).
  • (-3)+5+2\cdot 0=2 (confere).
  • 4(-3)+3(5)-2\cdot 0=-12+15+0=3 (confere).
    Portanto a solução encontrada satisfaz todas as equações.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-3\
\displaystyle x_{2}=5\
\displaystyle x_{3}=0

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