6^{\mathrm{a}} questāo:Considere o seguinte sistema:\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\binom{x_{1}}{x_{2}}=\binom{4}{5} .Seja x^{(0)}=\binom{0}{0} .Após 2 iteraçōes do método Gauss Seidel(com atualização),a aproximação para a solução é:
a) x_{1}^{(2)}=1,250 e x_{2}^{(2)}=1,500 .
b) x_{1}^{(2)}=1,250 e x_{2}^{(2)}=1,875.
c) x_{1}^{(2)}=0,750 e x_{2}^{(2)}=1,500 .
e)Não sei
积(2)=0,750 e x_{2}^{(2)}=1,875 .
e a condição inicial \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta é: após 2 iterações do método de Gauss–Seidel (com atualização imediata), qual é a aproximação \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}x_{1}^{(2)}\\[4pt] x_{2}^{(2)}\end{pmatrix}?\n
Informações relevantes dadas:
A matriz e o vetor do sistema são os mostrados acima.
Ponto inicial \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Devemos realizar exatamente 2 iterações do Gauss–Seidel (cada iteração atualiza sequencialmente x_{1} e depois x_{2}, usando valores imediatamente atualizados).]
Passo 2
Explicação do método de Gauss–Seidel e formulação das atualizações (aulas rápidas, passo a passo).
Ideia do Gauss–Seidel: para cada equação do sistema, isolamos a variável correspondente e calculamos seu novo valor usando os valores mais recentes disponíveis (se já atualizamos outra variável na mesma iteração, usamos esse valor novo).
Aqui cada variável no lado direito é substituída pelo valor atual mais recente: ao calcular x_{1}^{(k+1)} usamos x_{2}^{(k)} (ainda sem atualizar); ao calcular x_{2}^{(k+1)} já usamos x_{1}^{(k+1)} (o valor recém-calculado).
Explicando as notações:
x_{i}^{(k)} é a aproximação da variável x_{i} após k iterações completas.
Na iteração k\to k+1 fazemos, em ordem:
x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{4-x_{2}^{(k)}}{2}.
x_{2}^{(k+1)}=\dfrac{5-x_{1}^{(k+1)}}{2}.]
Passo 3
Primeira iteração (k=0 dando k+1=1):
Começamos com \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, isto é \;x_{1}^{(0)}=0 e \;x_{2}^{(0)}=0.
Os valores obtidos correspondem exatamente à alternativa (b) do enunciado.
Dica prática: em provas, para sistemas 2×2 é muito rápido isolar cada variável e aplicar as fórmulas de atualização; cuidado em usar o valor atualizado de x_{1} ao calcular x_{2} na mesma iteração (essa é a diferença chave entre Gauss–Seidel e Jacobi). Respire fundo — você consegue!