6^{\mathrm{a}} questāo:Considere o seguinte sistema: \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\binom{x_{1}}{x_{2}}=\binom{4}{5} .Seja x^{(0)}=\binom{0}{0} .Após 2 iteraçōes do método Gauss Seidel(com atualização),a aproximação para a solução é:
a) x_{1}^{(2)}=1,250 e x_{2}^{(2)}=1,500
b) x_{1}^{(2)}=1,250 e x_{2}^{(2)}=1,875.
c) x_{1}^{(2)}=0,750 e x_{2}^{(2)}=1,500
e)Não sei
积(2) =0,750 e x_{2}^{(2)}=1,875

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt] 5\end{pmatrix},
e a condição inicial \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta é: após 2 iterações do método de Gauss–Seidel (com atualização imediata), qual é a aproximação \;x^{(2)}=\begin{pmatrix}x_{1}^{(2)}\\[4pt] x_{2}^{(2)}\end{pmatrix}?\n
Informações relevantes dadas:
  • A matriz e o vetor do sistema são os mostrados acima.
  • Ponto inicial \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Devemos realizar exatamente 2 iterações do Gauss–Seidel (cada iteração atualiza sequencialmente x_{1} e depois x_{2}, usando valores imediatamente atualizados).]

Passo 2

Explicação do método de Gauss–Seidel e formulação das atualizações (aulas rápidas, passo a passo).
  • Ideia do Gauss–Seidel: para cada equação do sistema, isolamos a variável correspondente e calculamos seu novo valor usando os valores mais recentes disponíveis (se já atualizamos outra variável na mesma iteração, usamos esse valor novo).
  • Para este sistema, escrevemos as equações:
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=4,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}=5. \end{cases}
Isolando x_{1} na primeira equação e x_{2} na segunda, obtemos as fórmulas de iteração:
x_{1}=\frac{4-x_{2}}{2}, \qquad x_{2}=\frac{5-x_{1}}{2}.
Aqui cada variável no lado direito é substituída pelo valor atual mais recente: ao calcular x_{1}^{(k+1)} usamos x_{2}^{(k)} (ainda sem atualizar); ao calcular x_{2}^{(k+1)} já usamos x_{1}^{(k+1)} (o valor recém-calculado).
Explicando as notações:
  • x_{i}^{(k)} é a aproximação da variável x_{i} após k iterações completas.
  • Na iteração k\to k+1 fazemos, em ordem:
    1. x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{4-x_{2}^{(k)}}{2}.
    2. x_{2}^{(k+1)}=\dfrac{5-x_{1}^{(k+1)}}{2}.]

Passo 3

Primeira iteração ( k=0 dando k+1=1):
  • Começamos com \;x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}, isto é \;x_{1}^{(0)}=0 e \;x_{2}^{(0)}=0.
  • Calcule x_{1}^{(1)} usando a fórmula:
x_{1}^{(1)}=\frac{4-x_{2}^{(0)}}{2}=\frac{4-0}{2}=\frac{4}{2}=2.
  • Agora atualizamos x_{2} usando o x_{1}^{(1)} recém-calculado:
x_{2}^{(1)}=\frac{5-x_{1}^{(1)}}{2}=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}=1,5.
  • Resultado após 1 iteração:
x^{(1)}=\begin{pmatrix}x_{1}^{(1)}\\[4pt] x_{2}^{(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1,5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Segunda iteração ( k=1 dando k+1=2):
  • Partimos de x^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1,5\end{pmatrix}.
  • Calcule x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{4-x_{2}^{(1)}}{2}=\frac{4-1,5}{2}=\frac{2,5}{2}=1,25.
  • Agora calcule x_{2}^{(2)} usando x_{1}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{5-x_{1}^{(2)}}{2}=\frac{5-1,25}{2}=\frac{3,75}{2}=1,875.
  • Resultado após 2 iterações:
x^{(2)}=\begin{pmatrix}x_{1}^{(2)}\\[4pt] x_{2}^{(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,25\\[4pt]1,875\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Os valores obtidos correspondem exatamente à alternativa (b) do enunciado.
  • Dica prática: em provas, para sistemas 2×2 é muito rápido isolar cada variável e aplicar as fórmulas de atualização; cuidado em usar o valor atualizado de x_{1} ao calcular x_{2} na mesma iteração (essa é a diferença chave entre Gauss–Seidel e Jacobi). Respire fundo — você consegue!

Resposta

b) x_{1}^{(2)}=1,250 e x_{2}^{(2)}=1,875

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