Determine a soma e o produto das raízes reais da equação:
[
x^{2}+18 \cdot x+30=2 \cdot \sqrt{x^{2}+18 \cdot x+45}

Passo 1

Beleza, a gente tem essa equação que envolve uma raiz quadrada e um polinômio de 2º grau:
x^2 + 18x + 30 ;=; 2 ,raizx^2 + 18x + 45
Conteúdo: resolução de equações envolvendo radicais e quadráticas.
O que vamos precisar:
  1. Fazer uma substituição pra simplificar o radical;
  2. Elevar ao quadrado com cuidado (e depois checar soluções extranhas);
  3. Resolver a quadrática resultante;
  4. Encontrar as raízes e calcular soma e produto.

Passo 2

Primeiro, note que y = x^2 + 18x + 30 . Vamos chamar
y = 2,raizy + 15
Assim a equação vira
Isso ajuda porque agora só precisamos manipular uma equação em .

Passo 3

Agora, para “eliminar” a raiz, elevamos os dois lados ao quadrado:
y^2 = 4,(y + 15)
Desenvolvendo:
y^2 = 4y + 60 Longrightarrow y^2 - 4y - 60 = 0

Passo 4

Resolvendo essa quadrática em y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot(-60)2 = 4 pm raiz16 + 2402 = 4 pm 162 pela fórmula:
y1 = 4 + 162 = 10, y2 = 4 - 162 = -6
Isso dá duas soluções:

Passo 5

Temos que checar cada na equação original , pois ao elevar ao quadrado podem aparecer soluções “falsas”:
  • Se : RHS = . OK.
  • Se : RHS = , mas LHS = . Dá . Então é extranho e descartado.
Fica só .

Passo 6

Volta pra x^2 + 18x + 30 = 10 Longrightarrow x^2 + 18x + 20 = 0 :
x = -18 pm raiz18^2 - 4cdot1cdot202 = -18 pm raiz324 - 802 = -18 pm raiz2442 = -9 pm raiz61
Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Soma das raízes reais: mais = .
Produto das raízes reais: .
Portanto:
Soma = , Produto = .

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