Determine a soma e o produto das raízes reais da equação:
[
x^{2}+18 \cdot x+30=2 \cdot \sqrt{x^{2}+18 \cdot x+45}
x^{2}+18 \cdot x+30=2 \cdot \sqrt{x^{2}+18 \cdot x+45}
Passo 1
Beleza, a gente tem essa equação que envolve uma raiz quadrada e um polinômio de 2º grau:
Conteúdo: resolução de equações envolvendo radicais e quadráticas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Fazer uma substituição pra simplificar o radical;
- Elevar ao quadrado com cuidado (e depois checar soluções extranhas);
- Resolver a quadrática resultante;
- Encontrar as raízes e calcular soma e produto.
Passo 2
Primeiro, note que
. Vamos chamar
Assim a equação vira
Isso ajuda porque agora só precisamos manipular uma equação em
.
Passo 3
Agora, para “eliminar” a raiz, elevamos os dois lados ao quadrado:
Desenvolvendo:
Passo 4
Resolvendo essa quadrática em
pela fórmula:
Isso dá duas soluções:
Passo 5
Temos que checar cada
na equação original
, pois ao elevar ao quadrado podem aparecer soluções “falsas”:
- Se
: RHS = . OK. - Se
: RHS = , mas LHS = . Dá . Então é extranho e descartado.
Fica só
.
Passo 6
Volta pra
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Resposta
Soma das raízes reais:
mais
=
.
Produto das raízes reais: .
Produto das raízes reais:
Portanto:
Soma = , Produto =
.
Soma =