Obtenha a forma polinomial interpoladora por Lagrange que passa pelos pontos
e
;
Passo 1
O enunciado pede a forma polinomial interpoladora por Lagrange que passa pelos pontos
,
e
.
Informações dadas: os três pares ordenados são
Informações dadas: os três pares ordenados são
O que precisamos encontrar: um polinômio
de grau no máximo 2 que satisfaça
para
, construído pelo método de Lagrange.
Passo 2
Apresento a fórmula de interpolação de Lagrange e explico cada parte (aula curtinha): para três pontos com abscissas distintas, o polinômio interpolador é
onde cada polinômio base
é definido por
Explicação das variáveis:
-
são as abscissas dos pontos dados. -
são as ordenadas correspondentes. -
é construído para valer 1 em e valer 0 em para . Isso garante que porque todos os termos exceto o -ésimo desaparecem em .
Passo 3
Agora vou aplicar a fórmula aos nossos pontos. Reescrevendo-os com índices:
Passo 4
Calculo
pelo formulário:
Compute os denominadores:
e
, então o produto é
. Portanto
Faço a expansão para facilitar somar depois:
logo
Passo 5
Calculo
:
Os denominadores:
e
, produto
. Então
Expando:
portanto
Passo 6
Calculo
(mesmo que
, é bom ver como fica):
Denominadores:
e
, produto
. Assim
Passo 7
Agora monto o polinômio interpolador:
Substituo os
:
Substituo as expressões expandidas:
Somando termo a termo:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
termo constante:
Portanto
Passo 8
Cheque rápido nos pontos para ter confiança (verificação):
Para :
Para
Para
:
Para
:
Os valores coincidem com as ordenadas dadas, logo o polinômio está correto.