Obtenha a forma polinomial interpoladora por Lagrange que passa pelos pontos (-1,1),(1,3) e (2,0);

Passo 1

O enunciado pede a forma polinomial interpoladora por Lagrange que passa pelos pontos (-1,1), (1,3) e (2,0).
Informações dadas: os três pares ordenados são
(x_0,y_0)=(-1,1),\quad (x_1,y_1)=(1,3),\quad (x_2,y_2)=(2,0).
O que precisamos encontrar: um polinômio p(x) de grau no máximo 2 que satisfaça p(x_i)=y_i para i=0,1,2, construído pelo método de Lagrange.

Passo 2

Apresento a fórmula de interpolação de Lagrange e explico cada parte (aula curtinha): para três pontos com abscissas distintas, o polinômio interpolador é
p(x)=\sum_{j=0}^{2} y_j\,L_j(x),
onde cada polinômio base L_j(x) é definido por
L_j(x)=\prod_{\substack{m=0\\\ m\neq j}}^{2}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Explicação das variáveis:
  • \{x_0,x_1,x_2\} são as abscissas dos pontos dados.
  • \{y_0,y_1,y_2\} são as ordenadas correspondentes.
  • L_j(x) é construído para valer 1 em x=x_j e valer 0 em x=x_m para m\neq j. Isso garante que p(x_j)=y_j porque todos os termos exceto o j-ésimo desaparecem em x_j.

Passo 3

Agora vou aplicar a fórmula aos nossos pontos. Reescrevendo-os com índices:
x_0=-1,\; y_0=1;\qquad x_1=1,\; y_1=3;\qquad x_2=2,\; y_2=0.

Passo 4

Calculo L_0(x) pelo formulário:
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} =\frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)}.
Compute os denominadores: (-1-1)=-2 e (-1-2)=-3, então o produto é (-2)(-3)=6. Portanto
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{6}.
Faço a expansão para facilitar somar depois:
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2,
logo
L_0(x)=\frac{x^2-3x+2}{6}=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}.

Passo 5

Calculo L_1(x):
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} =\frac{(x+1)(x-2)}{(1-(-1))(1-2)}.
Os denominadores: 1-(-1)=2 e 1-2=-1, produto 2\cdot(-1)=-2. Então
L_1(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{-2}=-\frac{(x+1)(x-2)}{2}.
Expando:
(x+1)(x-2)=x^2-x-2,
portanto
L_1(x)=-\frac{x^2-x-2}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1.

Passo 6

Calculo L_2(x) (mesmo que y_2=0, é bom ver como fica):
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} =\frac{(x+1)(x-1)}{(2-(-1))(2-1)}.
Denominadores: 2-(-1)=3 e 2-1=1, produto 3\cdot 1=3. Assim
L_2(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{3}=\frac{x^2-1}{3}=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}.

Passo 7

Agora monto o polinômio interpolador:
p(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x).
Substituo os y_j:
p(x)=1\cdot L_0(x)+3\cdot L_1(x)+0\cdot L_2(x)=L_0(x)+3L_1(x).
Substituo as expressões expandidas:
L_0(x)=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3},
3L_1(x)=3\Big(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1\Big)=-\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}x+3.
Somando termo a termo:
coeficiente de x^2:
\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{1}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}.
coeficiente de x:
-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1.
termo constante:
\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.
Portanto
p(x)=-\frac{4}{3}x^2+x+\frac{10}{3}.

Passo 8

Cheque rápido nos pontos para ter confiança (verificação):
Para x=-1:
p(-1)=-\frac{4}{3}\cdot(-1)^2+(-1)+\frac{10}{3}=-\frac{4}{3}-1+\frac{10}{3}=1.
Para x=1:
p(1)=-\frac{4}{3}+1+\frac{10}{3}=3.
Para x=2:
p(2)=-\frac{4}{3}\cdot 4+2+\frac{10}{3}=-\frac{16}{3}+2+\frac{10}{3}=0.
Os valores coincidem com as ordenadas dadas, logo o polinômio está correto.

Resposta

-\dfrac{4}{3}x^{2}+x+\dfrac{10}{3}

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